Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Коалгебра — математична структура, яка є двоїстою до асоціативної алгебри з одиницею. Аксіоми унітарної асоціативної алгебри можуть бути сформульовані в термінах комутативних діаграм. Аксіоми коалгебри одержуються за допомогою обертання стрілок. Кожна коалгебра через двоїстість векторних просторів породжує алгебру, але не завжди навпаки. У скінченновимірному випадку двоїстість є в обох напрямках.
Коалгебра над полем K — це векторний простір C над K разом з K — лінійними відображеннями і , такими що
(Тут і позначає тензорний добуток над K.)
Еквівалентно, наступні дві діаграми комутують:
На першій діаграмі ми ототожнюємо з як два природно ізоморфних простори. [1] Аналогічно, на другій діаграмі ототожнені природно ізоморфні простори , і . [2]
Перша діаграма двоїста діаграмі, що виражає асоціативність операції множення алгебри (і називається коасоціативністю комноження); друга діаграма двоїста діаграмі, що виражає існування мультиплікативного нейтрального елемента. Відповідно, відображення Δ називається комноженням (або кодобутком) в C, а ε є коодиницею C.
Розглянемо деяку множину S і векторний простір над K з базисом S. Елементами цього векторного простору є такі функції з S в K, які відображають всі елементи S, крім скінченної кількості в нуль; ототожнимо елемент s з S з функцією, яка відображає s в 1 і всі інші елементи S в 0. Позначимо цей простір як C. Визначимо
Δ і ε можуть бути єдиним чином продовжені на все C по лінійності. Векторний простір C стає коалгеброю з комноженням Δ і коодиницею ε (перевірка цього є хорошим способом, щоб звикнути до використання аксіом коалгебри).
У скінченновимірному випадку, двоїстість між алгеброю і коалгеброю є більш тісною: об'єкт, двоїстий до скінченновимірної (унітарної асоціативної) алгебри є коалгеброю, а двоїстий до скінченновимірної коалгебри є (унітарною асоціативною) алгеброю. Взагалі кажучи, об'єкт, двоїстий до довільної алгебри, може не бути коалгеброю.
Це випливає з того, що, для скінченновимірних просторів, (A ⊗ A)* і A* ⊗ A* є ізоморфними. Якщо A є скінченновимірною асоціативною K-алгеброю з одиницею, тоді її K-спряжений простір A∗, елементами якого є K-лінійні функції з A в K є коалгеброю. Множення в A є лінійним відображенням A ⊗ A → A, яке породжує лінійне відображення спряжених просторів A∗ → (A ⊗ A)∗. Через ізоморфність, (A ⊗ A)∗ і A∗ ⊗ A∗ в скінченновимірному випадку, це відображення задає комноження на A∗. Коодиницею A∗ є відображення, що оцінює значення лінійних функцій у 1.
Загалом алгебра і коалгебра — двоїсті поняття (аксіоми, що визначають одну, одержуються із аксіом іншої за допомогою обертання стрілок), тоді як для скінченновимірних просторів вони є ще і двоїстими об'єктами.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.