Loading AI tools
Vikipedi'den, özgür ansiklopediden
Geometride tetrahedron veya dört yüzlü, dört üçgen yüzden oluşan bir çokyüzlüdür (polihedron), her köşesinde üç üçgen birleşir. Düzgün dört yüzlü dört üçgenin eşkenar olduğu bir dört yüzlüdür ve Platonik cisimlerden biridir. Dörtyüzlü, dört yüzü olan tek konveks çokyüzlüdür.[1] Tetrahedron isminin sıfat hali (tetrahedrona ait veya tetrahedronla ilişkili anlamında) "tetrahedral"dır.
Düzgün Tetrahedron | |
---|---|
(Dönen model animasyonu için burayı tıklayınız) | |
Tip | Platonik cisim |
Elemanlar | F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2) |
Yüzler | 4{3} |
Schläfli sembolü | {3,3} and s{2,2} |
Wythoff sembolü | 3 | 2 3 | 2 2 2 |
Coxeter-Dynkin | |
Simetri | Td veya (*332) |
Kaynakça | U01, C15, W1 |
Özellikler | Düzgün konveks deltahedron |
Dihedral açı | 70.528779° = arccos(1/3) |
3.3.3 (Köşesel şekil) |
[[{{{T-çifteş}}}]] (çifteş çokyüzlü) |
Ağ |
Dörtyüzlü, simpleks kavramının üç boyutlu hâlidir.
Dörtyüzlü, bir cins piramittir. Piramit, çokgen bir tabanı tek bir noktada birleştiren üçgen yüzlerden oluşur. Dörtyüzlü durumunda taban bir üçgendir (dört yüzün herhangi biri taban sayılabilir), dolayısıyla dört yüzlü ayrıca üçgen piramit olarak da bilinir.
Tüm dışbükey (konveks) çokgenler gibi, dört yüzlü de tek bir sayfa kâğıdın katlanması ile meydana gelebilir. İki ağdan oluşur.[1]
Her bir dört yüzlü için öyle bir küre (çevrel küre) vardır ki dört yüzlünün köşeleri bu kürenin yüzeyinde yer alırlar.
Kenar uzunluğu olan bir düzgün dört yüzlü için:
Taban yüzeyin yüzölçümü | |
yüzölçüm[2] | |
Yükseklik[3] | |
Hacim[2] | |
Bir kenar ile bir yüz arasındaki açı | (yaklaşık 54.7356°) |
İki yüz arasındaki açı[2] | (yaklaşık 70.5288°) |
Merkezi köşelere birleştiren doğrular arasındaki açı | (yaklaşık 109.4712°) |
Karşısında bir yüz olan bir köşedeki katı açı | (yaklaşık 0.55129 steradian) |
Çevrel kürenin yarıçapı[2] | |
Yüzlere teğet olan içkürenin yarıçapı[2] | |
Kenarlara teğet olan ortakürenin yarıçapı[2] | |
Dışkürelerin yarıçapları | |
Bir köşeden dışküre merkezine uzaklık |
Taban yüze göre bir yüzün eğimi, bir kenarın eğiminin iki katıdır, çünkü taban üzerinde, bir kenar boyunca köşeye olan yatay uzaklık, bir yüzün kenarortayından o köşeye olan uzaklığın iki katıdır. Bir diğer deyişle, eğer C, tabanın ağırlık merkezi (ortacı) ise, C'den tabanın köşelerinden birine olan uzaklık, C'den taban kenarlarından birinin orta noktasına olan uzaklığın iki katıdır. Bunun nedeni, kenarortayların birbirini kütle merkezinde kesmeleri ve bu noktanın her bir kenarortayı uzunlukları 1:2 oranlı olan iki parçaya bölmesidir.
Dörtyüzlünün hacmi, piramit hacim formülüdür:
burada tabanın alanı ve h tabandan tepeye olan yüksekliktir. Bu formül her yüz için geçerlidir, dolayısıyla köşelerden karşı yüzlere olan uzaklık, o yüzün alanı ile ters orantılıdır.
Aşağıdaki köşelere sahip bir dört yüzlü için a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), c = (c1, c2, c3) ve d = (d1, d2, d3), hacim (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|. Birbirleriyle basit bir çizge oluşturan köşe çiftlerinin herhangi bir diğer kombinasyonu ile de hacmi veren bir formül oluşturulabilir. Bu formül, nokta çarpım ve çapraz çarpım kullanılarak da yazılabilir:
Eğer koordinat sisteminin orijini d köşesine rastlayacak şekilde seçilirse, d = 0 olur, dolayısıyla
burada a, b ve c bir köşede kesişen üç kenara karşılık gelir ve bir üçlü skaler çarpımdır. Bu formülü bir paralelyüzün hacmi ile karşılaştırınca bir dört yüzlünün hacminin, onunla üç kesişen yüz paylaşan bir paralelyüzün hacminin 1/6'sı olduğu sonucuna varabiliriz.
Üçlü skaler çarpım aşağıdaki determinantla gösterilebilir:
burada , d köşesinde oluşan düzlemsel açılardır. açısı, d köşesini b ve c köşelerine bağlayan kenarlar arasındaki açıdır. açısı a ve c köşeleri için aynı şeyi yapar, de a ve b köşelerinin konumları ile tanımlanmıştır. Dörtyüzlünün köşeleri arasındaki uzaklıklar kullanılarak hacim hesaplamak için Cayley–Menger determinantı kullanılır:
burada indisleri köşelerini temsil eder ve bunlar arasındaki ikili uzaklıklardır, yani iki köşeyi birleştiren kenarın uzunluğu. Determinantın negatif değerli olması, verilen uzunluklara sahip bir dört yüzlünün olamayacağı anlamına gelir. Bu formül, bazen Tartaglia formülü olarak da bilinir, 15. yüzyılda yaşamış ressam Piero della Francesca'dan kaynaklanır. Bir üçgenin alanını hesaplamakta kullanılan, 1. yüzyılda keşfedilmiş Heron formülü'nün üç boyuttaki karşılığıdır.[4]
Dörtyüzlünün iki karşı kenarı, iki aykırı doğru üzerinde yer alırlar (aykırı doğrular birbirlerine ne paralel ne de birbirini kesen doğrulardır). Bu iki doğru arasındaki en yakın noktalar kenarlara ait noktalarsa bu noktalar kenarlar arasındaki en yakın uzaklığı tanımlar; aksi halde, kenarlar arasındaki uzaklık, uç noktalar ve karşı kenar arasındaki uzaklıklardan en kısa olanıdır. a ve b-c karşı kenarlarının oluşturduğu aykırı doğrular arasındaki uzaklık olsun.[5] Bu durumda hacim için bir diğer formül şöyledir:
Dörtyüzlü bir 3-simpleks'tir. Diğer Platonik cisimlerden farklı olarak, bir düzgün dört yüzlünün tüm köşeleri birbirinden eşit uzaklıktadır. Köşeler, üç boyutlu uzayda dört noktanın birbirine eşit uzaklıkta olabileceği tek konumdadır.
Dörtyüzlü, üçgensel bir piramittir. Düzgün dört yüzlü öz-çifteştir (İng. self-dual).
Düzgün bir dört yüzlü bir küpün içine iki farklı şekilde yerleştirilebilir, her köşe küpün bir köşesi ve her kenar küpün yüzlerinden birinin çaprazı olacak şekilde. Bu yerleştirmelerden biri için, köşelerin koordinatları şöyledir:
Meydana gelen bu dört yüzlünün orijin merkezli olup kenar uzunluğu 2√2'dir. Öbür dört yüzlü (birincisinin öz-çifteşidir) için tüm işaretlerin tersini alın. Bu iki dört yüzlünün köşeleri birlikte küpün köşelerini meydana getirirler. Böylece bir düzgün dört yüzlünün bir 3-yarıküpü (3-demicube) olduğu gösterilmiş olur.
Bu dört yüzlünün hacmi kübün hacminin 1/3'üdür. İki dört yüzlüyü birleştirince bir birleşik çokyüzlü (aynı merkeze sahip birden çok çokyüzlü) oluşur, bunun adı iki dört yüzlü bileşimi (compound of two tetrahedra) veya yıldızlaşmış sekiz yüzlü (stellated octahedron)'dur.
Yıldızlaşmış sekiz yüzlünün içi bir sekiz yüzlüdür. Dolayısıyla, düzgün bir dört yüzlüden yarım kenar uzunluğunda dört tane düzgün dört yüzlü kesilmesinin sonucu, düzgün bir sekiz yüzlüdür. Bu işleme dört yüzlünün rektifikasyonu denir.
Küpün içine bir dört yüzlü yerleştirince beş dört yüzlü meydana gelir, bunlardan biri düzgündür. Bir küpü oluşturmak için gereken dört yüzlü sayısı en az 5'tir.
Düzgün çokyüzlüler uzayı karolayamazlar. Bunun olabileceği o kadar makul görünmüştür ki Aristo bunun olabileceğini iddia etmiştir. Ancak, iki düzgün dört yüzlü ve bir sekiz yüzlü ile birleştirilerek bir eşaltı yüzlü (rhombohedron) oluşur, bununla uzay karolanabilir.
Ancak, uzayın karolayabilen en az bir düzensiz dört yüzlü vardır. Dörtyüzlülerin hepsinin aynı boyda olması şartı esnetilirse, sadece dört yüzlüler kullanarak uzayı kaplamak mümkündür. Örneğin bir sekiz yüzlüyü dört döryüzlüye bölüp bunları iki düzgün dört yüzlü ile birleştirilebilir (bu iki tip dört yüzlünün hacimleri eşittir).
Düzgün çokyüzlüler arasında paralel yüzlere sahip olmayan tek cisim dört yüzlüdür.
Bir dört yüzlüye uygulanacak bir kesme işlemi düzgün bir çokyüzlüler serisi meydana getirir. Kalan kenarları nokta haline getirecek şekilde kesmek, rektifiye bir dört yüzlü olan bir sekiz yüzlü oluşturur. Bu işlem devam ettirilirse sonunda ikili rektifikasyon (birectification) olur, başlangıçtaki yüzler birer noktaya indirgenir ve öz-çifteş dört yüzlü yeni baştan ortaya çıkar.
Ad | dörtyüzlü | rektifiye dörtyüzlü (sekizyüzlü) |
kesik dörtyüzlü | cantellated tetrahedron (küpsekizyüzlü) |
omnitruncated tetrahedron (kesik sekizyüzlü) |
Snub tetrahedron (yirmiyüzlü) |
---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {3,3} | t1{3,3} | t0,1{3,3} | t0,2{3,3} | t0,1,2{3,3} | s{3,3} |
Coxeter-Dynkin | ||||||
Çizge (A3) |
||||||
Çizge (A2) |
||||||
Katı | ||||||
Karolama |
Kesişen beş tane dört yüzlü ile ilginç bir çokyüzlü inşa edilebilir. Beş tane dörtlüden oluşan bu bileşik yüzyıllardır bilinmektedir. Origamide sık sık görülür. 20 köşenin birleştirilmesi ile bir dodekahedron (yirmiyüzlü) meydana gelir. Birbirinin ayna görüntüsü olan sağ elli ve sol elli biçimleri vardır.
Bir küpün köşeleri, her biri bir dört yüzlü oluşturan, dörtlü iki gruba ayrılabilir (bkz. yukarısı ve ayrıca animasyon). Düzgün bir dört yüzlünün simetrileri bir küpün simetrilerinin yarısına karşılık gelir: dört yüzlüleri kendilerine dönüştürenler ve birbirine dönüştürmeyenler.
Dörtyüzlü, platonik cisimler arasında noktasal yansıma ile kendi kendine rastlamayan tek cisimdir.
Düzgün dört yüzlünün 24 izometrisi vardır, Td simetri grubu ve ona eşbiçimli(izomorfik) olan S4 oluşturur. Bunlar şöyle kategorilendirilebilir:
Düzensiz bir dört yüzlünün izometrileri (eşölçer dönüşümleri) dört yüzlünün geometrisine bağlıdır, 7 durum olabilir. Her durumda bir 3-boyutlu noktalar kümesi meydana gelir.
Sinüs teoreminin bir sonucu olarak, köşeleri O, A, B, C olan bir dört yüzlüde
Bu eşitliğin iki tarafı, yüzlerin saat yönlü ve ters saat yönlü okunuşu gibi düşünülebilir.
Dört köşeden her birini O köşesi yerine koymak buna benzer dört eşitlik yaratır, ama bunların en fazla üç tanesi bağımsızdır: eğer eşitliklerin "saat yönlü" tarafları birbiriyle çarpılırsa, sonucun "ters saat yönlü" tarafların çarpımına eşit olduğu çıkarımı yapılabilir. Her iki taraftaki ortak çarpanlar atılırsa geriye kalan, dördüncü eşitliktir. Bu "bağımsızlık" ilişkisinin önemli olmasının bir nedeni şudur: üç açının bir üçgene ait olması için toplamlarının yarım çembere (180°) eşit olması gerekir. 12 açı için hangi şart bunların bir dört yüzlüye ait olmasını sağlar? Dörtyüzlünün her bir yüzündeki açıların toplamı yarım çemberdir. Bu şekilde dört üçgen olduğuna göre açı toplamlarına etki eden dört kısıt vardır. Dolayısıyla serbestlik derecesi 12'den 8'e düşer. Bu sinüs teoreminindeki dört ilişki, serbestlik derecelerini 8'den 4'e değil, 5'e indirir, çünkü dördüncü kısıt ilk üçten bağımsız değildir. Dolayısıyla olasıl tüm dört yüzlülerin oluşturduğu açı değerlerinin uzayı 5 boyutludur.
Sayısal analizde, özellikle kısmi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerinde, sonlu eleman analizi için denklemler kurarken, karmaşık üç boyutlu şekiller çoğu zaman düzensiz dört yüzlülerden oluşan bir çokgen ağ ile yaklaşıklanır. Bu yöntemler çeşitli mühendislik dallarında yaygın olarak kullanılmaktadır.
Kimyada kuaterner faz diyagramları grafik olarak tetrahedron olarak gösterilir. (Ancak, iletişim mühendisliğinde kuaterner faz diyagramları grafik olarak iki boyutlu gösterilir.)
Eğer dört eşit rezistör birbirine bağlanarak bir tetrahedron oluşturursa, iki köşe arasındaki direnç, bir rezistörün direncinin yarısı kadardır.[6]
Özellikle rol oyunlarında dört-yüzlü zar sık kullanılır. Atılan sayı ya tabanın etrafında ya da üst köşede yazılı olur. MÖ 2600'den kalma Ur Kraliyet Oyunu, bir dizi dört yüzlü zarla oynanmıştır. Bazı Rubik Küpü benzeri bulmacalar dört yüzlüdür, örneğin Pyraminx ve Pyramorphix.
Renk uzayı dönüşüm algoritmalarında, özellikle lüminans ekseni renk uzayını çapraz kestiği durumlarda (örneğin RGB, CMY), tetrahedral interpolasyon kullanılır.[7]
William Lowthian Green tarafından ilk yayımlanan ve Dünyanın oluşumunu açıklamak için[8] öne sürülen tetrahedral hipotez, 20. yüzyılın başlarında popülerdi.[9][10]
Dörtyüzlü (tetrahedron) şekli, moleküllerin kovalent bağlarında görülür. sp3-hibritlenmiş atomlara çevreleyen atomlar bir dört yüzlünün köşelerinde yer alır, yani tetrahedral moleküler geometriye sahiptir. Örneğin, bir metan molekülü (CH4) veya bir amonyum iyonunda (NH4+), merkezdeki karbon veya azot atomu, tetrahedral simetriye sahip dört hidrojen atomu ile çevrilidir. Bu yüzden organik kimyanın önde gelen dergilerinden biri Tetrahedron olarak adlandırılmıştır.
Düzgün bir dört yüzlünün iki köşesi arasındaki merkez açı θ = veya yaklaşık 109.47°'dir.
Elektronikte kullanılan en yaygın yarı iletken olan silikonun değerlik sayısı dörttür. Silikon atomunun bağlarının tetrahedral şekli, silikon kristallerinin oluşumunu ve şekillerini belirler.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.