Homolojik cebir

Homolojik cebir, homolojiyi genel cebirsel ortamda inceleyen matematiğin bir dalıdır. Kökenleri, özellikle Henri Poincaré ve David Hilbert tarafından 19. yüzyılın sonlarında kombinatoryal topoloji (cebirsel topolojinin öncüsü) ve soyut cebir (modüller ve syzygies teorisi) araştırmalarına dayanan nispeten genç bir disiplindir.

Homolojik cebirin temel bir sonucu olan yılan lemmasında kullanılan bir diyagram.

Homolojik cebir, homolojik işlevlerin ve bunların gerektirdiği karmaşık cebirsel yapıların incelenmesidir. Gelişimi, kategori teorisinin ortaya çıkışıyla iç içe geçerek ilerlemiştir. Merkezi bir kavram da, hem homolojileri hem de kohomolojileri aracılığıyla incelenebilen zincir kompleksleridir.

Homolojik cebir, bu komplekslerde yer alan bilgileri ayıklamak ve bunu halkaların, modüllerin, topolojik uzayların ve diğer 'somut' matematiksel nesnelerin homolojik değişmezleri biçiminde sunmak amacıyla araçlar sağlar. Bunu yapmak için güçlü bir araç spektral dizilerle sağlanır.

Cebirsel topolojide büyük bir rol oynamıştır. Etkisi kademeli olarak genişlemiş ve günümüzde değişmeli cebir, cebirsel geometri, cebirsel sayı teorisi, temsil teorisi, matematiksel fizik, operatör cebirleri, karmaşık analiz ve kısmi diferansiyel denklemler teorisini içermektedir. <i id="mwKA">K</i> -teorisi, Alain Connes'in değişmeli olmayan geometrisinde olduğu gibi homolojik cebir yöntemlerinden yararlanan bağımsız bir disiplindir.

Kaynakça

• Henri Cartan, Samuel Eilenberg, Homolojik cebir . David A. Buchsbaum'un eki ile. 1956 orijinalinin yeniden baskısı. Matematikte Princeton Simgesel Yapıları. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp.0-691-04991-2ISBN 0-691-04991-2
• Saunders Mac Lane, Homoloji . 1975 baskısının yeniden basımı. Matematikte Klasikler. Springer-Verlag, Berlin, 1995. x+422 s.3-540-58662-8ISBN 3-540-58662-8
• peter hilton ; Stammbach, U. Homolojik cebirde bir kurs . İkinci baskı. Matematik Lisansüstü Metinleri, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii+364 s.0-387-94823-6ISBN 0-387-94823-6
• Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Homolojik cebir yöntemleri . Rusça 1988 baskısından çevrilmiştir. İkinci baskı. Matematikte Springer Monografları. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 s.3-540-43583-2ISBN 3-540-43583-2
• Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Homolojik cebir . Yazarlar tarafından 1989 tarihli Rusça orijinalinden çevrilmiştir. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (Cebir, V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 s.3-540-65378-3ISBN 3-540-65378-3
• 978-0-521-55987-4