Bernoulli ilkesi

Akışkanlar dinamiğinde Bernoulli prensibi, sürtünmesiz bir akış boyunca, hızda gerçekleşen bir artışın aynı anda ya basınçta ya da akışkanın potansiyel enerjisinde azalmaya neden olduğunu ifade eder.^[1][2] Bernoulli prensibi, adını Hollanda-İsviçre kökenli matematikçi Daniel Bernoulli'den almıştır. Bernoulli bu prensibini 1738 yılında Hydrodynamica adlı kitabında yayınlamıştır.^[3]

Venturimetreye giren bir hava akımı

Bazen Bernoulli denklemi olarak da geçen bu prensip farklı türlerde akışkan debileri üzerinde uygulanabilir. Aslında farklı türlerde akışkanlar için farklı Bernoulli denklemleri vardır. Bernoulli prensibinin en basit hâli sıkıştırılamaz akışkanlar (örn. çoğu sıvı akışkanlar) ve düşük Mach sayısında hareket eden sıkıştırılabilir akışkanlar (örn. gazlar) için geçerlidir.

Bernoulli prensibi, enerjinin korunumu yasasından çıkarılabilir. Buna göre sabit bir akımda, bir yolda hareket eden akışkanın sahip olduğu tüm mekanik enerjilerin toplamı yine bu yol üzerindeki her noktada eşittir. Bu ifade kinetik ve potansiyel enerji toplamlarının sabit olduğunu ifade eder. Bu yüzden akışkanın hızındaki herhangi bir artış, akışkanın dinamik basıncını ve kinetik enerjisini orantılı olarak arttırırken statik basıncını ve potansiyel enerjisini düşürür.

Bernoulli prensibi, direkt olarak Newton'un 2. yasasından da elde edilebilir. Eğer küçük hacimli bir akışkan yatay olarak yüksek basınçlı bölgeden düşük basınçlı bölgeye doğru ilerliyorsa, arkada; önde olduğundan daha fazla basınç var demektir. Bu, akışkan üzerinde net bir kuvvet uygulayarak akım çizgisi boyunca hızlanmasını sağlar.^[4][5]

Sıkıştırılamaz akış denklemi

Bernoulli sıvılar üzerinde deneyler yapmıştır ve denklemi de yalnızca sıkıştırılamaz akışlar için geçerlidir. Bernoulli denkleminin yaygın bir hâli aşağıdaki gibidir. (Yer çekimi sabit)

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+gz+{p \over \rho }={\text{sabit}}}$

Bu denklemde:

${\displaystyle v\,}$ akım çizgisinde, seçilen noktadaki akış hızı,

${\displaystyle g\,}$ yer çekimi,

${\displaystyle z\,}$ referans düzlemi üzerindeki elevasyon (yükseklik farkı)

${\displaystyle p\,}$ seçilen noktadaki basınç

${\displaystyle \rho \,}$ yoğunluk

Bernoulli denkleminin uygulanabilmesi için aşağıdaki varsayımlar karşılanmalıdır:^[6]

• akış daimi olmalıdır, akış parametreleri (hız, yoğunluk vs.) zamana bağlı olarak değişmemelidir.
• akış sıkıştırılamaz olmalıdır - basınç değişse bile, akım çizgisi boyunca yoğunluk sabit kalmalıdır.
• viskoz kuvvetlerinin yarattığı sürtünme ihmal edilebilir olmalıdır.

Korunumlu kuvvet alanları (yerçekimi alanı ile sınırlı değildir) için Bernoulli denklemi şu şekilde genelleştirilebilir:^[7]

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{sabit}}}$

Burada Ψ, akım çizgisi üzerinde alınan noktadaki kuvvet potansiyelidir. Örneğin, Dünya'nın yerçekimi için Ψ = gz.

İlk denklem, akışkanın yoğunluğuyla ${\displaystyle \rho }$ çarpılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir.

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,+\,\rho \,g\,z\,+\,p\,=\,{\text{sabit}}\,}$

ya da:

${\displaystyle q\,+\,\rho \,g\,h\,=\,p_{0}\,+\,\rho \,g\,z\,=\,{\text{sabit}}\,}$

Bu denklemde:

• ${\displaystyle q\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}}$ dinamik basınç,
• ${\displaystyle h\,=\,z\,+\,{\frac {p}{\rho g}}}$ hidrolik yükseklik (z yüksekliği ve basınç yüksekliği toplamı)^[8][9]
• ${\displaystyle p_{0}\,=\,p\,+\,q\,}$ toplam basınç (statik basınç p ve dinamik basınç q toplamı).^[10]

Denklem, içindeki sabit normalize edilerek yük formunda yazılabilir, böylece H toplam yük olmak üzere:

${\displaystyle H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}}}$

denklemi elde edilebilir.

Basitleştirilmiş form

Bernoulli denkleminin birçok uygulamasında, akım çizgisi boyunca ρgz terimindeki değişiklik, diğer terimlere kıyasla göz ardı edilebilecek kadar küçüktür. Örneğin, seyir hâlindeki bir uçağın akım çizgileri boyunca z yüksekliğindeki değişiklik oldukça küçüktür ve ρgz terimi ihmal edilebilir. Böylece yukarıdaki denklem aşağıdaki basitleştirilmiş biçimde de kullanılabilir:

${\displaystyle p\,+\,q\,=\,p_{0}\,={\text{sabit}}}$

Yani Bernoulli denklemi basitleştirilmiş şekliyle şöyle ifade edilebilir:^[11]

statik basınç + dinamik basınç = toplam basınç

Daimi bir akıştaki her noktanın, o noktadaki akışkan hızından bağımsız olarak, kendi statik basıncı p ve dinamik basıncı q vardır. Bunların toplamı p + q da toplam basınç p₀ olarak tanımlanır. Bernoulli prensibinin böylece "bir akım çizgisi boyunca toplam basınç sabittir" şeklinde özetlenebilir.

Eğer akış dönümsüz ise her akım çizgisi üzerindeki toplam basınç aynı olur ve Bernoulli prensibi "toplam basınç, akışın her yerinde sabittir" şeklinde özetlenebilir.^[11] Büyük bir akışkan kütlesinin katı bir cisimden geçtiği herhangi bir durumda irrotasyonel akış varsayılabilir. Örnek olarak seyir hâlindeki uçaklar ve açık su kütlelerinde hareket eden gemiler verilebilir. Öte yandan Bernoulli prensibinin sınır tabakasına veya uzun borulardaki akışlara uygulanamadığını hatırlamak önemlidir.

Bir akım çizgisi üzerinde bir noktada akış durdurulursa, bu noktaya durma noktası denir ve bu noktadaki toplam basınç, durma basıncına eşittir.