Yuvarlanma eğrisi

Eğrilerin diferansiyel geometrisinde, bir rulet veya yuvarlanma eğrisi (İngilizce: roulette), sikloidler, episikloidler, hiposikloidler, trokoidler, epitrokoidler, hipotrokoidler ve gereçleri (involütleri) genelleştiren bir eğri türüdür.

Tanım

Gayriresmî tanım

Yeşil bir parabol, sabit kalan eşit mavi bir parabol boyunca yuvarlanır. Üreteç, yuvarlanan parabolün tepe noktasıdır ve kırmızı ile gösterilen yuvarlanma eğrisini tanımlar. Bu durumda ortaya çıkan yuvarlanma eğrisi bir Diocles sisoididir.^[1]

Kabaca ifade etmek gerekirse, yuvarlanma eğrisi, belirli bir eğriye bağlı bir nokta ("üreteç" veya "kutup" olarak adlandırılır) tarafından, bu eğri sabit olan ikinci bir eğri boyunca kaymadan yuvarlanırken tanımlanan eğridir. Daha açık bir ifadeyle, hareketli bir düzleme bağlı bir eğri verildiğinde, eğri aynı alanı işgal eden sabit bir düzleme bağlı belirli bir eğri boyunca kaymadan yuvarlanır, o zaman hareketli düzleme bağlı bir nokta, sabit düzlemde yuvarlanma eğrisi veya rulet adı verilen bir eğriyi tanımlar.

Özel durumlar ve ilgili kavramlar

Yuvarlanan eğrinin bir doğru ve üretecin doğru üzerinde bir nokta olduğu durumda, yuvarlanma eğrisi sabit eğrinin bir involütü olarak adlandırılır. Eğer yuvarlanan eğri bir çember ve sabit eğri bir doğru ise, o zaman yuvarlanma eğrisi bir trokoiddir. Eğer bu durumda, nokta çember üzerinde yer alıyorsa, yuvarlanma eğrisi bir sikloiddir.

İlgili bir kavram glissette, verilen bir eğriye bağlı bir noktanın verilen iki (veya daha fazla) eğri boyunca kayarken tanımladığı eğridir.

Resmi tanım

Biçimsel olarak, eğriler Öklid düzleminde diferansiyellenebilir eğriler olmalıdır. "Sabit eğri" değişmez tutulur; "yuvarlanan eğri" bir sürekli kongrüans dönüşümüne tabi tutulur, öyle ki her zaman eğriler, her iki eğri boyunca alındığında aynı hızla hareket eden bir temas noktasında teğet olurlar (bu kısıtlamayı ifade etmenin başka bir yolu da iki eğrinin temas noktasının kongrüans dönüşümünün anlık dönme merkezi olmasıdır). Ortaya çıkan yuvarlanma eğrisi, aynı uyum dönüşümleri kümesine tabi tutulan üretecin locusu tarafından oluşturulur.

Orijinal eğrileri karmaşık düzlemde eğriler olarak modelleyerek, ${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$, yuvarlanan (${\displaystyle r}$) ve sabit (${\displaystyle f}$) eğrilerinin iki doğal parametrizasyonları olsun, öyle ki ${\displaystyle r(0)=f(0)}$, ${\displaystyle r'(0)=f'(0)}$ ve ${\displaystyle |r'(t)|=|f'(t)|\neq 0}$ tüm ${\displaystyle t}$ için. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ üzerinde yuvarlandıkça ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ üretecinin yuvarlanma eğrisi daha sonra aşağıdaki eşleme tarafından verilir:

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.}$

Genellemeler

Yuvarlanan eğriye tek bir nokta yerine, verilen başka bir eğri hareketli düzlem boyunca taşınırsa, bir uyumlu eğriler ailesi üretilir. Bu ailenin zarfı yuvarlanma eğrisi veya rulet olarak da adlandırılabilir.

Daha yüksek uzaylarda yuvarlanma eğrileri kesinlikle hayal edilebilir ancak teğetlerden daha fazlasını hizalamak gerekir.

Örnek

Eğer sabit eğri bir zincir eğrisi (İngilizce: catenary) ve yuvarlanan eğri (İngilizce: roulette) bir doğru ise, şu sonuca varırız:

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

Doğrunun parametrelendirilmesi şu şekilde seçilir:

${\displaystyle |f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.}$

Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

Eğer p = -i ise ifadenin sabit bir hayali kısmı vardır (yani -i) ve rulet yatay bir çizgidir. Bunun ilginç bir uygulaması, bir kare tekerleğin zincir eğrisi yaylarının eşleştirilmiş bir serisi olan bir yolda zıplamadan yuvarlanabilmesidir.

Yuvarlanma eğrileri listesi

Sabit eğri	Hareketli eğri	Üreteç noktası	Rulet (Yuvarlanma eğrisi)
Herhangi bir eğri	Doğru	Doğru üzerinde bir nokta	Eğrinin involutü
Doğru	Herhangi	Herhangi	Siklogon
Doğru	Çember	Herhangi	Trokoid
Doğru	Çember	Çember üzerinde bir nokta	Sikloid
Doğru	Konik kesit	Koniğin merkezi	Sturm yuvarlanan eğrisi[2]
Doğru	Konik kesit	Koniğin odağı	Delaunay yuvarlanan eğrisi[3]
Doğru	Parabol	Parabolün odağı	Zincir eğrisi[4]
Doğru	Elips	Elipsin odağı	Eliptik zincir eğrisi[4]
Doğru	Hiperbol	Hiperbolün odağı	Hiperbolik zincir eğrisi[4]
Doğru	Hiperbol	Hiperbolün merkezi	Dikdörtgen elastika[2][kaynak doğrulanamadı]
Doğru	Siklosikloid	Merkez	Elips[5]
Çember	Çember	Herhangi	Ortalanmış trokoid[6]
Bir çemberin dışında	Çember	Herhangi	Epitrokoid
Bir çemberin dışında	Çember	Çemberin üzerinde bir nokta	Episikloid
Bir çemberin dışında	Aynı yarıçaplı çember	Herhangi	Limaçon
Bir çemberin dışında	Aynı yarıçaplı çember	Çemberin üzerinde bir nokta	Kardioid
Bir çemberin dışında	Yarıçapın yarısı kadar çember	Çemberin üzerinde bir nokta	Nefroid
Bir çemberin içinde	Çember	Herhangi	Hipotrokoid
Bir çemberin içinde	Çember	Çemberin üzerinde bir nokta	Hiposikloid
Bir çemberin içinde	Yarıçapın üçte biri kadar çember	Çemberin üzerinde bir nokta	Deltoid
Bir çemberin içinde	Yarıçapın dörtte biri kadar çember	Çemberin üzerinde bir nokta	Astroid
Parabol	Ters yönde parametrelendirilmiş eşit parabol	Parabolün tepe noktası	Diocles Sisoidi[1]
Zincir eğrisi	Doğru	Bkz. yukarıdaki örnekler	Doğru

Ayrıca bakınız

• Yuvarlanma
• Dişli
• Locus
• Süperpozisyon ilkesi
• Spirograf
• Tusi çifti
• Rosetta (yörünge)