Euler teoremi (geometri)

Geometride, Euler teoremi, bir üçgenin çevrel çemberinin ve iç teğet çemberinin merkezleri arasındaki uzaklıkla bu çemberlerin yarıçapları arasında bir ilişki kuran temel bir sonuçtur. Teorem, adını, bu sonucu 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır.^[1] Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.^[2]

Euler teoremi:${\displaystyle d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}}$

Teoremin ifadesi

Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ${\displaystyle R}$, içteğet çemberin yarıçapı ${\displaystyle r}$ ve bu iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık ${\displaystyle d}$ ise, o zaman^[3][4]

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$

eşitliği vardır. Eşitlik ifadesi, eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde de yazılabilir:

${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}}$.

Euler eşitsizliği

Uzaklık kavramı negatif-olmayan bir gerçel sayıyı işaret ettiği için, teoremde ${\displaystyle d=R(R-2r)\geq 0}$ yazılıp Euler eşitsizliği elde edilir:^[5][6]

${\displaystyle R\geq 2r.}$

Burada, eşitlik hali, yani, ${\displaystyle R=2r}$ olması, ancak ve ancak bahsi geçen üçgenin eşkenar üçgen olması durumunda geçerlidir.^[7]

Eşitsizliğin daha güçlü bir hâli de vardır. ${\displaystyle a,b,c}$ üçgenin kenar uzunlukları olmak üzere

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2}$,

eşitsizliği yazılabilir^[7].

Teoremin ispatı

Öklid geometrisinde Euler teoreminin kanıtı

${\displaystyle O}$ noktası, ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve ${\displaystyle I}$ noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun.
${\displaystyle AI}$'nın uzantısının çevrel çemberi kestiği noktaya ${\displaystyle L}$ diyelim. Bir iç teğet çemberin merkezi üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktası olduğu için, ${\displaystyle AI}$ doğrusu, ${\displaystyle BAC}$ nin açıortayıdır. O halde ${\displaystyle BL}$ ve ${\displaystyle LC}$ yayları eşit uzunluğa sahiptir. Böylece, ${\displaystyle L}$ noktası, ${\displaystyle BC}$ yayının orta noktasıdır.
${\displaystyle L}$ ve ${\displaystyle O}$'dan geçen doğruyu uzatıp bu doğrunun çevrel çemberi kestiği diğer noktaya ${\displaystyle M}$ diyelim. Böylelikle, ${\displaystyle ML=2R}$ olur. ${\displaystyle I}$'dan ${\displaystyle AB}$ kenarına bir dik çizelim ve bu dikmenin kenarı kestiği noktaya ${\displaystyle D}$ diyelim. O zaman, ${\displaystyle ID=r}$ olur.

${\displaystyle \triangle ADI}$ üçgeninin ${\displaystyle \triangle MBL}$ üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir. Böylece,

${\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}},}$

yani, ${\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}$ elde edilir. ${\displaystyle ID}$ ve ${\displaystyle ML}$ uzunluklarının değerlerini yerine koyarak

${\displaystyle 2Rr=AI\times BL}$

olur. ${\displaystyle BI}$'yı birleştirilince, iç teğet üçgenin açıortay özelliğinden

${\displaystyle \angle BIL={\frac {\angle A}{2}}+{\frac {\angle B}{2}}}$

olduğu elde edilir. Diğer taraftan, ${\displaystyle L}$ noktasını ${\displaystyle BC}$ yayının orta noktası olduğundan, ${\displaystyle \angle CBL={\frac {\angle A}{2}}}$ olur. İç teğet üçgenin açıortay özelliğinden ${\displaystyle \angle IBC={\frac {\angle B}{2}}}$ olacağından,

${\displaystyle \angle IBL={\frac {\angle ABC}{2}}+\angle CBL={\frac {\angle B}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}}$

elde edilir. Sonuç olarak, ${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$ elde edilmiştir. Bir üçgende aynı açılara sahip kenarların uzunluğu aynı olduğundan, ${\displaystyle BL=IL}$ elde edilir.

${\displaystyle AI\times IL=2Rr}$ olduğu bilgisine sahibiz. ${\displaystyle OI}$ doğru parçasını çevrel çemberi ${\displaystyle P}$ ve ${\displaystyle Q}$ noktalarında kesecek şekilde uzatalım. O halde,

${\displaystyle PI\times QI=AI\times IL=2Rr,}$

yani,

${\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr}$

elde edilir. Sonuç olarak,

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$

olur.

Dış teğet çember için Euler teoremi

  bir üçgen,
  iç teğet çember, iç teğet çemberin merkezi (${\displaystyle I}$),
  dış teğet çemberler, dış teğet çemberlerin merkezleri (${\displaystyle J_{A}}$, ${\displaystyle J_{B}}$, ${\displaystyle J_{C}}$),
  iç açıortaylar
  dış açıortaylar,
  yeşil üçgen dışsal üçgen,
  A, B, C noktalarından geçen çember ise üçgenin çevrel çemberi olur.

${\displaystyle A}$ tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapı ${\displaystyle r_{a}}$ olsun. Dış teğet çemberin merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzaklık ise ${\displaystyle d_{a}}$ ile gösterilsim. O zaman,

${\displaystyle d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})}$

olur.

Mutlak geometride Euler eşitsizliği

Euler eşitsizliğinin şu biçimi mutlak geometride geçerlidir:^[8] Bir çember içinde çizilen tüm üçgenler arasında,

• sadece eşkenar üçgenlerin alanın en büyüktür,
• iç teğet çemberlerinin yarıçapı en büyük olanlar eşkenar üçgenlerdir; yani, sonuç olarak ${\displaystyle R\geq 2r.}$

Ayrıca bakınız

• İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi
• Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle d}$) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir.
• Üçgen eşitsizlikleri listesi