Euler teoremi (geometri)

Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki ${\displaystyle d}$ uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir:^[1][2]${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$

Euler teoremi:${\displaystyle d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}}$

veya eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir;

${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}}$,

burada ${\displaystyle R}$ ve ${\displaystyle r}$, sırasıyla çevresel ve iç teğet çemberlerin yarıçapını belirtir. Teorem, adını 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır.^[3] Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.^[4]

Teoremi Euler eşitsizliği takip eder:^[5][6] ${\displaystyle R\geq 2r}$,

bu ifadede sadece eşkenar üçgen durumda eşitlik geçerlidir.^{[7] :p. 198}

İspat

Öklid geometrisinde Euler teoreminin kanıtı

${\displaystyle O}$ noktası, ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve ${\displaystyle I}$ noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun, ${\displaystyle AI}$'nın uzantısı çemberi ${\displaystyle L}$ noktasında keser. O halde ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle BC}$ yayının orta noktasıdır. ${\displaystyle LO}$'yu birleştirin ve ${\displaystyle M}$'deki çevrel çemberi kesecek şekilde uzatın. ${\displaystyle I}$'dan ${\displaystyle AB}$'ye bir dik çizin ve ${\displaystyle D}$ onun ayağı olsun, yani ${\displaystyle ID=r}$'dir. ${\displaystyle \triangle ADI}$ üçgeninin ${\displaystyle \triangle MBL}$ üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir, bu nedenle ${\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}}$, yani ${\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}$'dir. Bu nedenle ${\displaystyle 2Rr=AI\times BL}$'dir. ${\displaystyle BI}$'yı birleştirin. Çünkü;

${\displaystyle \angle BIL={\frac {\angle A}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}}$,

${\displaystyle \angle IBL={\frac {\angle ABC}{2}}+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}}$,

${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$, ${\displaystyle BL=IL}$ ve ${\displaystyle AI\times IL=2Rr}$ olduğu bilgisine sahibiz. ${\displaystyle OI}$'yi çevrel çemberi ${\displaystyle P}$ ve ${\displaystyle Q}$ noktalarında kesecek şekilde genişletin; sonra ${\displaystyle PI\times QI=AI\times IL=2Rr}$, yani ${\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr}$, yani ${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$'dir.

Eşitsizliğin daha güçlü versiyonu

Matematiksel ifadenin daha güçlü bir versiyonu^{[7] :p. 198}

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2}$,

olarak yazılabilir, burada a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır.

Dış teğet çember için Euler teoremi

  bir üçgen,
  iç teğet çember, iç teğet çemberin merkezi (${\displaystyle I}$),
  dış teğet çemberler, dış teğet çemberlerin merkezleri (${\displaystyle J_{A}}$, ${\displaystyle J_{B}}$, ${\displaystyle J_{C}}$),
  iç açıortaylar
  dış açıortaylar,
  yeşil üçgen dışsal üçgen,
  A, B, C noktalarından geçen çember ise üçgenin çevrel çemberi olur.

Eğer ${\displaystyle r_{a}}$ ve ${\displaystyle d_{a}}$ sırasıyla ${\displaystyle A}$ tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapını gösterirse ve onu merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzunluk, o zaman ${\displaystyle d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})}$ olur.

Mutlak geometride Euler eşitsizliği

Euler eşitsizliği, verilen bir çember içine çizilmiş tüm üçgenler için, eşkenar üçgen için çevrel çemberin maksimum yarıçapına ulaşıldığını ve sadece bunun için geçerli olduğunu ifade eden biçimde mutlak geometride geçerlidir.^[8]

Ayrıca bakınız

• İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi
• Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle d}$) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir.
• Üçgen eşitsizliklerin listesi

Kaynakça

1. Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 [1929], s. 186
2. The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work, Spectrum Series, 2, Mathematical Association of America, 2007, s. 300, ISBN 9780883855584, 4 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020.
3. Gerry Leversha & G. C. Smith (Kasım 2007), "Euler and Triangle Geometry", The Mathematical Gazette, 91 (522), ss. 436-452, doi:10.1017/S0025557200182087, JSTOR 40378417
4. An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles, 4, 1746, ss. 117-124, Uzaklık formülü, sayfa 123'ün alt kısmına yakındır.
5. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, 2009, s. 56, ISBN 9780883853429.
6. The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific, 2010, s. 124, ISBN 9781848165250.
7. Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities, 12, 2012, ss. 197-209, 28 Ekim 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020.
8. Euler's inequality in absolute geoemtry, 109 (Art. 8), 2018, ss. 1-11, doi:10.1007/s00022-018-0414-6.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Euler Triangle Formula (MathWorld)
• "Euler's Formula and Poncelet Porism", cut-the-knot.org, 31 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020
• "Euler Triangle Formula", ProofWiki, 15 Şubat 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020

Konuyla ilgili yayınlar

• Lev Emelyanov & Tatiana Emelyanova (2001), "Euler's Formula and Poncelet's Porism", Forum Geometricorum, 1, ss. 137-140, ISSN 1534-1178
• Benedetto Scimemi (2002), "Paper-folding and Euler's Theorem Revisited" (PDF), Forum Geometricorum, 2, ss. 93-104, 28 Ağustos 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 27 Kasım 2020
• Zhang, Z. H., Song, Q., & Wang, Z. S. (2003), "Some Strengthened Results On Euler's Inequality" (PDF), RGMIA research report collection, 6 (4)
• Gerry Leversha & G. C. Smith (Kasım 2007), "Euler and Triangle Geometry", The Mathematical Gazette, 91 (522), ss. 436-452, 5 Aralık 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020