Ayos ng operasyon

Sa matematika at pagpoprograma sa kompyuter, ang ayos ng operasyon ay ang kalipunan o koleksyon ng mga tuntunin na napagkasunduang gamitin sa paglipas ng panahon sa pagkokompyut. Tinutukoy nito kung ano ang unang ikakalkulang operasyon sa isang ekspresyong matematikal.

Bilang halimbawa, madalas inuuna ang pagpaparami kaysa sa pagdaragdag sa matematika at karamihan sa mga wikang pamprograma.^[1][2] Ibig sabihin, ikokompyut ang ekspresyong ${\displaystyle 2+3\times 4}$ bilang ${\displaystyle 2+(3\times 4)=14}$ at hindi ${\displaystyle (2+3)\times 4=20}$.^[1] Gayunpaman, nang ipinakilala ang mga eksponente noong ika-16 hanggang ika-17 siglo, binigyan ito ng mas mataas na ranggo kaysa sa pagpaparami at pagdaragdag. Kaya naman, ${\displaystyle 2^{3}\times 4=32}$ at ${\displaystyle 2^{3}+4=12}$.

Ginawa ang mga kumbensiyong ito para mawala ang pagkakalito sa pagkokompyut. Kung kinakailangang unahin muna ang isang operasyong mas mababa kaysa sa isang operasyon (hal. pagdaragdag muna bago pagpaparami), ginagamitan ang mga ito ng panaklong. Kung sakaling maraming panaklong ang ginagamit nang sabay-sabay sa iisang ekspresyon, ginagamit minsan ang mga braketang parisukat at pakurba ([] at {}) para hindi makalito.^[3]

Kahulugan

Ang ayos ng operasyon na ginagamit sa matematika, agham, teknolohiya, at karamihan sa mga wikang pamprograma ay ganito:^[1][4][5]

1. pagpapalakas at pag-uugat
2. pagpaparami at paghahati
3. pagdaragdag at pagbabawas

Ang antas ng isang operasyong gagamitin ay tumutukoy sa "prayoridad" nito sa pagkokompyut. Para naman sa mga operasyon na magkapantay sa antas, ang mauunang operasyon ay ang operasyong unang isinulat sa ekspresyon mula kaliwa pakanan.

Para piliting mauna ang isang mas mababang operasyon, ginagamitan ito ng panaklong. Dahil rito, ang panaklong ay ang pinakamataas sa ayos ng operasyon. Sakop rin nito ang mga buning (functions) gumagamit nito sa kanilang notasyon, tulad ng ${\displaystyle \sin(x)}$; gayunpaman, ginagamit lamang ito upang hindi magdulot ng kalituhan at maaari namang tanggalin kung di kinakailangan. Kung sunod-sunod o di kaya'y "malalim" na ang paggamit ng panaklong sa isang ekspresyon, ginagamit din ang mga braketang parisukat ([]) at pakurba ({}).

Itinuturing rin ang tandang radikal (${\displaystyle \surd }$) bilang isang simbolong pang-grupo., gayundin ang linyang panghati (yung linya sa ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$).

Dahil sa mga katangiang komutatibo at asosyatibo, pinapayagan ng pagdaragdag at ng pagpaparami ang kahit anong pagpupuwesto sa mga panagdag o kabuo, para sa mga kaso ng magkakasunod na pagdaragdag o pagpaparami (hal. ${\displaystyle 2+3+4}$ o ${\displaystyle 2\times 3\times 4}$). Bagamat pwede ito, dapat pa ring unahin ang operasyong mas mataas sa kanila. Halimbawa, uunahin muna ang ${\displaystyle 4\times 5}$ kaysa sa ${\displaystyle 2+3+4}$ sa ekspresyong ${\displaystyle 2+3+4\times 5}$ dahil mas mataas ang pagpaparami kaysa sa pagdaragdag.

Halimbawa

Ang sumusunod ay isang pagdedetalye sa proseso ng pagkompyut sa isang partikular na halimbawang gumagamit ng iba't ibang mga operasyon.

${\displaystyle {\frac {10^{2}+(7-23)\times 2}{25+3+3-2\times 4}}}$

Mga hakbang sa pagkompyut:

1. Dahil panggrupo ang linyang panghati, uunahin munang ikompyut ang panakda (numerator) at ang pamahagi (denominator).
   1. Panakda:
      1. Dahil may panaklong ang ${\displaystyle 7-23}$, uunahin ito.
         1. Resulta ay ${\displaystyle -16}$: ${\displaystyle {\frac {10^{2}+-16\times 2}{25+3+3-2\times 4}}}$
      2. Dahil mas mataas ang pag-uugat, ikokompyut muna ito.
         1. Resulta ay ${\displaystyle 100}$: ${\displaystyle {\frac {100+-16\times 2}{25+3+3-2\times 4}}}$
      3. Mas mataas ang pagpaparami kaysa sa pagdaragdag.
         1. Resulta ay ${\displaystyle -32}$: ${\displaystyle {\frac {100+-32}{25+3+3-2\times 4}}}$
      4. Ikokompyut na ang natira.
         1. Resulta ay ${\displaystyle 68}$: ${\displaystyle {\frac {68}{25+3+3-2\times 4}}}$
   2. Pamahagi:
      1. Mas mataas ang pagpaparami, kaya ikokompyut muna ito.
         1. Resulta ay ${\displaystyle -8}$: ${\displaystyle {\frac {68}{25+3+3-8}}}$
      2. Magkapantay ang pagdaragdag at pagbabawas, ngunit dahil nauna ang pagdaragdag sa ayos, uunahin ito. Maaari itong sunod-sunod na idagdag.
         1. Resulta ay ${\displaystyle 31}$: ${\displaystyle {\frac {68}{31-8}}}$
      3. Ikompyut ang natira.
         1. Resulta ay ${\displaystyle 23}$: ${\displaystyle {\frac {68}{23}}}$

Pinagkunan: Symbolab (sa wikang Ingles)

PEMDAS

Sa Pilipinas, madalas itinuturo ang nimonik na PEMDAS o GEMDAS sa mga estudyanteng nasa mababang paaralan para mabilis nilang matandaan ang ayos ng operasyon. Kumakatawan ito sa Ingles na "Parentheses (o Groupings), Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction." Maaaring magdulot ng kalituhan ang nimonika, dahil ayon dito, mas mauuna dapat ang pagpaparami (multiplication) kaysa sa paghahati (division), kahit na magkapantay lamang ito ng antas. Sa ganitong kaso, mauuna ang operasyon na nasa kaliwa. Ganito rin ang kaso sa pagdaragdag (addition) at pagbabawas (subtraction).

Bukod sa Pilipinas, ginagamit rin ang PEMDAS ng Estados Unidos. Ginagamit rin nila ang katagang "Please Excuse My Dear Aunt Sally" bilang alternatibo sa PEMDAS.

Ibang katawagan

Ginagamit ng Canada at New Zealand ang BEDMAS, na kumakatawan naman sa "Brackets, Exponents, Division/Multiplication, Addition/Subtraction." Samantala, laganap naman ang paggamit ng BODMAS sa Reyno Unido, Pakistan, India, Bangladesh, at Awstralya, gayundin sa ilang mga bansang laganap ang wikang Ingles. Nangangahulugan itong "Brackets, Order, Division/Multiplication, Addition/Subtraction" o "Brackets, Of/Division/Multiplication, Addition/Subtraction."

Ginagamit din sa Reyno Unido ang BIDMAS, na kumakatawan naman sa "Brackets, Indices, Division/Multiplication, Addition/Subtraction."

Mga espesyal na kaso

Patong-patong na pagpapalakas

Kapag patong-patong ang lakas sa pagpapalakas, madalas itong kinakalkula mula taas pababa:

    ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}$

Hindi pareho ang sagot nito sa ${\displaystyle (a^{b})^{c}}$.

Gayunpaman, wala pang napagkakasunduang paraan sa pagkompyut kung gagamitan ng karet (^) o ng palaso (↑) ang operasyon. Halimbawa, kinakalkula ng Microsoft Excel at ng MATLAB ang ekspresyong a^b^c bilang ${\displaystyle (a^{b})^{c}}$, pero ${\displaystyle a^{(b^{c})}}$ naman sa Google Search at Wolfram Alpha. Ibig sabihin, ang sagot sa 4^3^2 ay 4,096 sa una habang 262,144 naman sa pangalawa.

Unaryong tandang pambawas

Iba-iba ang ginagamit na kumbensiyon pagdating sa pagkompyut sa unaryong tandang pambawas (−, binabasang negative o minus). Kung isusulat, ang ibig sabihin ng ${\displaystyle -3^{2}}$ ay ${\displaystyle -(3^{2})=9}$.

Mas mataas ang antas ng mga unaryo kaysa sa mga binaryo sa ilang mga programa at wikang pamprograma. Ibig sabihin, uunahin ng mga ito ang unaryong pambawas kaysa sa pagpapalakas, kaya naman ${\displaystyle (-3)^{2}=9}$. Gayunpaman, partikular sa Excel, hindi ito nilalapat sa binaryong pambawas: halimbawa, ang sagot sa ${\displaystyle 0+-2^{2}}$ ay 4, pero -4 naman ang sagot sa ${\displaystyle 0-2^{2}}$ (pansinin ang paggamit ng tandang pandagdag sa una at ang tandang pambawas sa ikalawa).

Magkahalong paghahati at pagpaparami

Maaaring magdulot ng kalituhan ang paggamit ng simbolong slash (/) bilang simbolo ng paghahati. Kung isusulat muli ang ekspresyong ${\textstyle {\frac {1}{2x}}}$ bilang ${\textstyle 1\div 2x}$ at iinterpreta ang linyang panghati bilang isang pananda na paparamihin ito gamit ng kabaligtaran (reciprocal) nito, magiging ganito ang resulta:

    ${\textstyle 1\div 2\times x=1\times {\frac {1}{2}}\times x={\frac {1}{2}}\times x}$

Sa ganitong pananaw, magkatumbas ang ${\textstyle 1\div 2x}$ at ${\textstyle (1\div 2)x}$. Gayunpaman, itinuturing ng ilang akademiko na mas mataas ang antas ng pagpaparaming magkatabi (hal. 2x) kaysa sa paghahati. Sa pananaw na ito, ang ${\textstyle 1\div 2x}$ ay kinokompyut bilang ${\textstyle 1\div (2x)}$. Ito ang ginagamit na pananaw ng dyornal na Physical Reviews, kung saan nakasulat mismo sa kanilang gabay sa pagpapása ng manuskrito na mas mataas ang pagpaparami kaysa sa paghahating ginagamitan ng slash. Ito rin ang pananaw ng ilang mga prominenteng libro sa pisika tulad ng Course of Theoretical Physics nina Lev Landau at Evgeny Lifshitz at ang librong Feynman Lectures on Physics ni Richard Feynman.

Sanggunian

1. Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke" [Kahulugan ng mga ekspresyong pang-aritmetika]. Sinulat ni Leipzig, Alemanya. Sa Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (mga pat.). Taschenbuch der Mathematik [Aklat ng Matematika] (sa wikang Aleman). Bol. 1. Weiß, Jürgen (ika-23 (na) edisyon). Thun, Suwisa / Frankfurt am Main, Alemanya: Verlag Harri Deutsch (at B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, Alemanya). pp. 115–120, 802. ISBN 3-87144-492-8. Regel 7: Ist F(A) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung Fn(A) für (F(A))n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.] (Salin: Kung F(A) ay ang substring ng isang ekspresyong pang-aritmetika o isa sa mga daglat nito, at ang F ay isang di-nababagong bunin at ang A ay isang bilang na nababago o di-nababago, isinusulat ito na F A. [Bilang karagdagan, ang daglat na Fⁿ(A) para sa (F(A))ⁿ ay pangkaraniwan. Dito, parehong nababago at di-nababagong bunin ang F]){{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
2. "Ask Dr. Math" [Tanungin si Sir Math] (sa wikang Ingles). Math Forum. Nobyembre 22, 2000. Nakuha noong Disyembre 29, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
3. "Compendium of Mathematical Symbols" [Talaan ng mga Simbolong Pangmatematika]. Math Vault (sa wikang Ingles). Marso 1, 2020. Nakuha noong Disyembre 29, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
4. Weisstein, Eric W. "Precedence" [Ayos [ng operasyon]]. mathworld.wolfram.com (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 29, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
5. Stapel, Elizabeth. "The Order of Operations: PEMDAS" [Ang Ayos ng Operasyon: PEMDAS]. Purplemath (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 29, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)