เรขาคณิต

เรขาคณิต (อังกฤษ: Geometry; กรีก: γεωμετρία, geometria; geo = พื้นดิน/โลก, metria = วัด) เป็นสาขาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับรูปทรง รูปร่าง ขนาดและตำแหน่งของวัตถุในปริภูมิ^[1]

ในช่วงก่อนคริสต์ศตวรรษที่ 19 เรขาคณิตแบบยุคลิดแทบจะเป็นเรขาคณิตแบบเดียวที่เป็นที่รู้จักและถูกศึกษามากที่สุด^[2] เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นการศึกษาเรขาคณิตบนระนาบ และเรขาคณิตในปริภูมิสามมิติ โดยมี จุด เส้น ระนาบ ระยะทาง มุม พื้นผิว และความโค้งเป็นพื้นฐาน^[3] เรขาคณิตอีกแบบที่เป็นที่รู้จักคือเรขาคณิตทรงกลม ซึ่งใช้ในการศึกษาดาราศาสตร์ และการเดินทาง

ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีการค้นพบใหม่ ๆ ที่ขยายสาขาเรขาคณิตออกไปโดยกว้าง หนึ่งในนั้นคือ Theorema Egregium (ทฤษฎีบทอันน่าทึ่ง) โดย คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ซึ่งกล่าวโดยคร่าวว่า ความโค้งเกาส์เซียน ของพื้นผิวเป็นคุณสมบัติเฉพาะของพื้นผิวที่สามารถวัดได้จากบนพื้นผิวนั้น และไม่ขึ้นอยู่กับปริภูมิแวดล้อมที่พื้นผิวนั้นอาศัยอยู่ใน^[4] การค้นพบนี้นำไปสู่เรขาคณิตแบบรีมันน์

ถัดมาในช่วงหลังคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีการค้นพบเรขาคณิตในรูปแบบอื่นที่นอกเหนือไปจากเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยปฏิเสธสัจพจน์เส้นขนานของยุคลิด ผ่านงานของ นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกี และ ยานอส โบลไย ปัจจุบันเรียกเรขาคณิตที่ไม่มีสัจพจน์เส้นขนานว่า เรขาคณิตแบบไม่ยุคลิด^{[5]: 359–365} เรขาคณิตที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เป็นตัวอย่างหนึ่งของเรขาคณิตแบบไม่ยุคลิดซึ่งมีชื่อเสียงที่สุด^[6]

ในปัจจุบันเรขาคณิตได้ขยายออกไปกว้างขวางมาก และแบ่งย่อยออกไปตามเครื่องมือที่ใช้ในการศึกษาปัญหาทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต เรขาคณิตเชิงคณนา เรขาคณิตวิยุต และอื่น ๆ หรือแบ่งตามสมบัติที่เรขาคณิตนั้นแตกต่างไปจากเรขาคณิตแบบยุคลิด เช่น เรขาคณิตโพรเจคทีฟไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับระยะทางและเส้นขนาน เรขาคณิตสัมพรรคไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับมุมและระยะทาง เป็นต้น

นอกจากนี้แล้ว เรขาคณิตยังมีบทประยุกต์ในคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ ที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตโดยตรง ตัวอย่างที่เป็นที่รู้จักคือ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา ซึ่ง แอนดรูว์ ไวลส์ ได้พิสูจน์สำเร็จในปี ค.ศ. 1994 บทพิสูจน์ของไวลส์ใช้เครื่องมือทางเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหัวใจสำคัญ^[7]

สาขาของเรขาคณิต

เรขาคณิตแบบยุคลิด

บทความหลัก: เรขาคณิตแบบยุคลิด

เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นเรขาคณิตแบบคลาสสิค ซึ่งศึกษารูปร่างและรูปทรงที่เป็นไปตามสัจพจน์ที่ริเริ่มโดยยุคลิด

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

บทความหลัก: เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ใช้เครื่องมือจากแคลคุลัสเพื่อศึกษาพื้นผิวและความโค้ง

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มุ่งศึกษาเรขาคณิตของเส้นโค้ง พื้นผิว และแมนิโฟลด์ โดยอาศัยเครื่องมือและวิธีการจาก แคลคุลัสเชิงอนุพันธ์ หรือ แคลคุลัสเชิงปริพันธ์ เข้าร่วม^[8]

ทอพอโลยี

บทความหลัก: ทอพอโลยี

ทอพอโลยีเป็นสาขาเกี่ยวข้องกับการส่งต่อเนื่อง และสมบัติของปริภูมิ อาทิ ความเชื่อมโยง และความกระชับ

เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

บทความหลัก: เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตพัฒนามาจากการหาคำตอบของเซตของพหุนามในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เรขาคณิตเชิงพีชคณิตอาศัยเครื่องมือจาก เรขาคณิตเชิงโพรเจคทีฟ เรขาคณิตทวิตรรกยะ วาไรตีเชิงพีชคณิต และ พีชคณิตสลับที่ ซึ่งต่างเป็นสาขาที่เพิ่งสร้างขึ้นในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 19 เป็นต้นมา ในช่วงท้ายของทศวรรษ 1950 เรขาคณิตเชิงพีชคณิตได้รับการพัฒนาฐานรากจากงานของ ฌ็อง-ปีแยร์ แซร์ และ อเล็กซานเดอร์ โกรเธนดีก ซึ่งเสนอแนวคิดเรื่อง สกีม และประยุกต์ใช้วิธีทางทอพอโลยี

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา โดย แอนดรูว์ ไวลส์ ใช้เครื่องมือขั้นสูงจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมาแก้ปัญหาในทฤษฎีจำนวน

รายการอ้างอิง

1. "Geometry - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org.
2. "Euclidean geometry | Definition, Axioms, & Postulates | Britannica". www.britannica.com (ภาษาอังกฤษ).
3. Tabak, John (2004). Geometry : the language of space and form. New York: Facts On File. ISBN 0-8160-4953-X. OCLC 52819880.
4. McCleary, John. Geometry from a Differentiable Viewpoint (2 ed.). Cambridge University Press. p. 174, 176. ISBN 9781139022248.
5. Stillwell, John. Mathematics and Its History. Springer International Publishing. ISBN 978-3-030-55192-6.
6. Carmeli, Moshe (2008). Relativity: Modern Large-Scale Structures of the Cosmos. World Scientific Publishing. p. 92-93.
7. https://www.ams.org/publications/journals/notices/201703/rnoti-p209.pdf
8. "Differential geometry - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org.