รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในทางเรขาคณิต รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนสองคู่ ในบริบทของเรขาคณิตแบบยูคลิด ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวเท่ากัน และมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน ความสมนัยของด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามเป็นผลทางตรงจากสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิด (Euclidean Parallel Postulate) นั่นคือไม่มีเงื่อนไขอันใดที่สามารถพิสูจน์โดยไม่อ้างถึงสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิดหรือบทบัญญัติเทียบเท่า

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
รูปนี้เป็นชนิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก เพราะมุมของมันไม่เป็นมุมฉาก
ชนิด	รูปสี่เหลี่ยม
ขอบและจุดยอด	4
กรุปสมมาตร	C2 (2)
พื้นที่	B × H; ab sin θ
สมบัติ	รูปหลายเหลี่ยมนูน

รูปทรงที่คล้ายกันในสามมิติคือทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สมบัติ

• ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นเส้นขนาน (โดยนิยาม) หมายความว่าเมื่อต่อด้านออกไปจะไม่บรรจบกัน
• ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน
• มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาดเท่ากัน
• มุมภายในที่อยู่ติดกันรวมกันเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (รวมกันได้ 180°)
• พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสองเท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการแบ่งด้วยเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้น
• พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ยังเท่ากับขนาดของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ของด้านที่อยู่ติดกัน
• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
• เส้นตรงใด ๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งพื้นที่พอดี ^[1]
• การแปลงสัมพรรค (affine transformation) ที่ไม่ใช่ภาวะลดรูป ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกรูปหนึ่ง การแปลงสัมพรรคที่ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีเป็นจำนวนอนันต์
• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรแบบหมุน (หรือสมมาตรเชิงวงกลม) ในอันดับสอง (หมุนครั้งละ 180°) และถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรแบบสะท้อนสองแกน แสดงว่ามันคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือไม่ก็รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• เส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากับ 2 (a + b) เมื่อ a และ b คือความยาวของด้านที่อยู่ติดกัน
• ผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสี่ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมทั้งสอง ^[2] ดูเพิ่มที่กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ประเภท

• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก (rhomboid) คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมภายในไม่เป็นมุมฉาก ความหมายตรงข้ามกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
• รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมภายในทุกมุมเท่ากัน (มุมฉาก)
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน
• รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากันและมุมภายในทุกมุมเท่ากัน (มุมฉาก)

การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD

การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน กระทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทรูปสามเหลี่ยมสมภาค (เท่ากันทุกประการ) ดังนี้

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$ (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$ (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)

เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่ลากผ่านเส้นขนาน AB และ DC

นอกจากนี้ ด้าน AB ก็ยาวเท่ากับ DC เนื่องจากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน

เพราะฉะนั้นรูปสามเหลี่ยม ABE กับรูปสามเหลี่ยม CDE เท่ากันทุกประการด้วยสัจพจน์ มุม-ด้าน-มุม ดังนั้นจะได้

${\displaystyle AE=CE\,}$

${\displaystyle BE=DE\,}$

เนื่องจากเส้นทแยงมุม AC กับ BD ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันในแต่ละเส้น จึงสรุปว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

สูตรพื้นที่

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแสดงด้วยสีฟ้า

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามที่ปรากฏในภาพ (แสดงด้วยสีฟ้า) คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดหักออกด้วยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูป (แสดงด้วยสีส้ม) เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากคือ

${\displaystyle A_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}$

และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปคือ

${\displaystyle A_{\text{tri}}={\frac {1}{2}}A\times H\,}$

ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} &=A_{\text{rect}}-2\times A_{\text{tri}}\\&=\left((B+A)\times H\right)-\left(A\times H\right)\\&=B\times H\\\end{aligned}}}$

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ a และ b และทำมุม θ สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งคือ

${\displaystyle {\text{Area}}=ab\sin \theta \,}$

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ a และ b โดยที่ a ≠ b และเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นตัดกันทำมุม γ คำนวณได้จากสูตรนี้ ^[3]

${\displaystyle {\text{Area}}={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|}$

พื้นที่บนระบบพิกัด

กำหนดให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}=|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|}$

กำหนดให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ n มิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}={\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}$

กำหนดให้จุด a, b, c เป็นจุดในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดยอดทั้งสามสามารถคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}=|\det(V)|}$

อ้างอิง

1. Dunn, J. A., and J. E. Pretty, "Halving a triangle", Mathematical Gazette 56, May 1972, p. 105.
2. Posamentier, Alfred S., and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover, second edition, 1996: p. 217, item 10-5.
3. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.

ดูเพิ่ม

• กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหลักมูล

แหล่งข้อมูลอื่น

• Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Parallelogram" จากแมทเวิลด์.
• Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
• Area of Parallelogram at cut-the-knot
• Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
• Definition and properties of a parallelogram with animated applet
• Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet