มุมกวาดจริง

ในทางดาราศาสตร์และกลศาสตร์ท้องฟ้า มุมกวาดจริง (true anomaly) คือตัวแปรหนึ่งที่ใช้แสดงถึงตำแหน่งของวัตถุท้องฟ้า ณ ช่วงเวลาหนึ่ง ๆ ซึ่งมีการเคลื่อนที่ไปในวงโคจรตามกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

มุมกวาดจริงถูกกำหนดให้เป็นมุมระหว่างเส้นที่ลากจากศูนย์กลางมวลไปยังจุดใกล้ที่สุดในวงโคจร (เรียกว่าเวกเตอร์รุงเงอ–เลนทซ์) กับเส้นที่ลากจากศูนย์กลางมวลมายังวัตถุ กล่าวคือ ในรูปด้านขวา เมื่อ p คือตำแหน่งของวัตถุ z คือจุดใกล้ที่สุด และ s คือโฟกัส (ตำแหน่งของศูนย์กลางมวล หรือ ดาวฤกษ์หลัก) แล้วมุม ${\displaystyle \nu =\angle zsp}$ ก็คือมุมกวาดจริง ดังนั้น ระยะทาง r ระหว่างดาวฤกษ์หลักกับวัตถุท้องฟ้าสามารถเขียนในรูปของมุมกวาดจริง ${\displaystyle \nu }$ ได้เป็น^[1]

${\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \nu }}}$

โดยที่ ${\displaystyle a}$ คือกึ่งแกนเอก และ ${\displaystyle e}$ คือ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ความสัมพันธ์กับค่ามุมอื่น

ในการคำนวณบางอย่าง เป็นการสะดวกกว่าที่จะใช้มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง ${\displaystyle E}$ ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดจริงกับมุมกวาดเยื้องศูนย์กลางคือ

${\displaystyle \tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}}$

ถ้าแทน

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}$

จะเขียนใหม่ได้ในรูปอนุกรมได้เป็น^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=E+\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {2}{s}}\beta ^{s}\sin sE\\&=E+2\left(\beta \sin E+{\frac {\beta ^{2}}{2}}\sin 2E+{\frac {\beta ^{3}}{3}}\sin 3E+{\frac {\beta ^{4}}{4}}\sin 4E+\cdots \right)\end{aligned}}}$

จากการใช้สูตรคำนวณนี้ หากได้ค่ามุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง ${\displaystyle E}$ ของวัตถุท้องฟ้าแล้ว ก็จะสามารถคำนวณมุมกวาดจริง ${\displaystyle \nu }$ ได้

อีกทางหนึ่ง ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง ${\displaystyle E}$ และ มุมกวาดเฉลี่ย ${\displaystyle M}$ สามารถหาได้จากการแก้สมการเค็พเพลอร์ ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็นอนุกรมฟูรีเยสำหรับหาค่ามุมกวาดจริง ${\displaystyle \nu }$ จากมุมกวาดเฉลี่ย ${\displaystyle M}$ ได้เป็น^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=M+2e\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M+e^{3}\left({\frac {13}{12}}\sin 3M-{\frac {1}{4}}\sin M\right)\\&+e^{4}\left({\frac {103}{96}}\sin 4M-{\frac {11}{24}}\sin 2M\right)\\&+e^{5}\left({\frac {1097}{960}}\sin 5M-{\frac {43}{64}}\sin 3M+{\frac {5}{96}}\sin M\right)\\&+e^{6}\left({\frac {1223}{960}}\sin 6M-{\frac {451}{480}}\sin 4M-{\frac {11}{24}}\sin 2M\right)+\cdots \end{aligned}}}$

อ้างอิง

1. 天文学辞典 » 離心近点角
2. Brouwer & Clemence, Methods of Celestial Mechanics, Academic Press, New York and London, 1961, ISBN 978-1483212357. pp. 62-63.
3. Brouwer & Clemence, Methods of Celestial Mechanics, Academic Press, New York and London, 1961, ISBN 978-1483212357. pp. 77.