จำนวนเชิงพีชคณิต

จำนวนเชิงพีชคณิต (อังกฤษ: algebraic number) คือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นรากของพหุนามหนึ่งตัวแปร ซึ่งพหุนามไม่เป็นศูนย์ และมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ แทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ หรือ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเชิงพีชคณิตจะเรียกว่าจำนวนอดิศัย (transcendental number)

ตัวอย่าง

• จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต ซึ่งสามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน b กับ a และ a ต้องไม่เท่ากับศูนย์ เข้ากับนิยามดังกล่าวเพราะว่า ${\displaystyle x=-b/a}$ เป็นรูปแบบที่มาจากสมการ ${\displaystyle ax+b=0}$ (โดยทั่วไปแล้ว a หรือ b จึงเป็นจำนวนลบได้ เช่นเดียวกับ x) ^[1]
• จำนวนอตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต บางจำนวนก็ไม่เป็น
  • จำนวน ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ และ ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$ เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต เพราะเป็นคำตอบของสมการ ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ และ ${\displaystyle 8x^{3}-3=0}$ ตามลำดับ
  • อัตราส่วนทองคำ φ เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต เพราะเป็นคำตอบของสมการ ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$
  • ค่าคงตัว π และ e ไม่เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต ^[1] (ดูเพิ่มที่ ทฤษฎีบทลินเดอมันน์-ไวเออร์ชตรัสส์)
• จำนวนสร้างได้ (constructible number) ซึ่งสร้างด้วยสันตรงกับวงเวียน โดยเริ่มจากความยาวหนึ่งหน่วย เช่น ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต

อ้างอิง

1. G. H. Hardy and E. M. Wright 1978, 2000 (with general index) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0