ผู้ใช้:Keeplearn/กระบะทราย2ExteriorAlgebra
From Wikipedia, the free encyclopedia
ในทางคณิตศาสตร์ ผลคูณภายนอก หรือ ผลคูณเวดจ์ ของเวกเตอร์ คือโครงสร้างหนึ่งทางพีชคณิตที่เราใช้ในเรขาคณิตแบบยูคลิดเพื่อที่จะศึกษาพื้นที่, ปริมาตร, และปริมาณอื่นๆ ที่มีมิติที่สูงกว่า ผลคูณภายนอกของสองเวกเตอร์ u และ v เขียนแทนด้วย u ∧ v (ยู เวดจ์ วี) เรียกว่า ไบเวกเตอร์ และอยู่ในปริภูมิหนึ่งที่เราเรียกว่ากำลังสองภายนอก (เอกซทีเรียร์สแควร์) ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์ทางเรขาคณิตที่แตกต่างจากปริภูมิตั้งต้นของเวกเตอร์ เราตีความขนาด[3] ของผลคูณ u ∧ v เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านเป็น u และ v ซึ่งเราคำนวณได้โดยการใช้ผลคูณครอสส์ของสองเวกเตอร์ในสามมิติ ผลคูณภายนอกมีสมบัติต่อต้านการสลับที่เหมือนกับผลคูณครอสส์ ซึ่งหมายความว่า u ∧ v = −(v ∧ u) สำหรับทุกเวกเตอร์ u และ v วิธีหนึ่งที่จะจินตนาการถึงไบเวกเตอร์คือกลุ่มของสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน มีพื้นที่เหมือนกัน และมีทิศทางของขอบเขตเหมือนกัน โดยที่อาจมีทิศทางตามเข็ม หรือ ทวนเข็มก็ได้
บทความนี้ไม่มีการอ้างอิงจากแหล่งที่มาใด |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/N-vector.svg/125px-N-vector.svg.png)
เมื่อเราพิจารณาผลคูณภายนอกในลักษณะนี้ เราจะเรียกผลคูณภายนอกของสองเวกเตอร์ว่า 2-เบลด และเราจะนิยามรูปแบบทั่วไปของผลคูณภายนอกของ k เวกเตอร์และเรียกมันว่า k-เบลด ซึ่งอยู่ในปริภูมิเรขาคณิตที่เราเรียกว่าปริภูมิภายนอกอันดับที่ k ขนาดของผลคูณ k-เบลดคือปริมาณของรูปทรงขนานมิติที่ k ที่มีด้านขอบเป็นเวกเตอร์ตั้งต้น ซึ่งเหมือนกันกับขนาดของผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์ในสามมิติที่ให้ปริมาตรของรูปทรงขนานที่เป็นส่วนขยายของเวกเตอร์เหล่านั้น
พีชคณิตภายนอก หรือ พีชคณิตของกรัสส์แมน ตั้งชื่อตามแฮร์มันน์ กรัสส์มันน์,[4] เป็นระบบพีชคณิตที่ผลลัพธ์ของมันคือผลคูณภายนอกปริภูมิตั้งต้น พีชคณิตภายนอกให้สภาพแวดล้อมเพื่อตอบคำถามทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น เบลดมีความหมายทางเรขาคณิตที่ชัดเจน เราสามารถจัดการกับวัตถุในพีชคณิตภายนอกตามชุดของกฎที่ชัดเจน พีชคณิตภายนอกประกอบด้วย k-เบลด และผลรวมของk-เบลดที่เราเรียกว่า''k''-เวกเตอร์.[5] เราเรียกk-เบลดว่าสมาชิกมูลฐานของพีชคณิตภายนอกเพราะพวกมันเป็นผลลัพธ์มูลฐานของเวกเตอร์ เรานิยามrankของk-เวกเตอร์ใดๆ ว่าเป็นจำนวนที่เล็กที่สุดของสมาชิกมูลฐานที่ประกอบขึ้นเป็นผลรวม เราได้ขยายผลคูณภายนอกออกไปเพื่อให้ได้พีชคณิตภายนอกที่สมบูรณ์แบบเพื่อให้เราสามารถคูณสมาชิกใดๆของมันสองตัวได้อย่างมีเหตุมีผล ด้วยการเพิ่มผลคูณแบบนี้ให้กับพีชคณิตภายนอก ทำให้พีชคณิตภายนอกเป็นพีชคณิตการเปลี่ยนหมู่ (associative algebra) ซึ่งหมายความว่า α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ สำหรับสมาชิกใดๆ α, β, γ k-เวกเตอร์มีอันดับที่k หมายถึงพวกมันเป็นผลรวมของผลคูณของเวกเตอร์kตัว เมื่อนำสมาชิกที่มีอันดับต่างกันมาคูณกัน เราจะเอาอันดับของมันมาบวกกันเหมือนการคูณของพหุคูณ (polynomials) สิ่งนี้หมายความว่าพีชคณิตภายนอกเป็นพีชคณิตเชิงอันดับ (graded algebra)
ตามความรู้สึกในเชิงโครงสร้างสากล (universal construction) พีชคณิตภายนอกเป็นพีชคณิตที่ใหญ่ที่สุดที่รองรับผลคูณแบบอื่นของเวกเตอร์และเราสามารถนิยามมันในรูปของวัตถุอื่นที่เรารู้จักเช่น เทนเซอร์ (Tensors) นิยามของพีชคณิตภายนอกใช้ได้กับปริภูมิหลายแบบไม่ใช่แค่ปริภูมิเวกเตอร์เชิงเรขาคณิต แต่ใช้ได้กับวัตถุอื่นที่เหมือนเวกเตอร์ เช่น สนามเวกเตอร์ (vector field) หรือ ฟังก์ชันเวกเตอร์ (vector function) โดยทั่วไป เราสามารถนิยามพีชคณิตภายนอกสำหรับส่วนจำเพาะ (module) บนวงแหวนสับเปลี่ยน (commutative ring) และสำหรับโครงสร้างอื่นที่เราสนใจในพีชคณิตเชิงทฤษฎี (abstract algebra) โครงสร้างทั่วไปแบบหนึ่งที่เราใช้พีชคณิตภายนอกกับงานที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งคือ พีชคณิตของอนุพันธ์ (differential forms) ซึ่งเป็นพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (differential geometry) อนุพันธ์เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ซึ่งแสดงให้เห็นภาพบริเวณที่เล็กมากจนวัดไม่ได้ซึ่งวัตถุยังคงคุณสมบัตเฉพาะตัว (infinitesimal areas) ของรูปทรงขนานที่เล็กมากจนวัดไม่ได้ (และรูปทรงที่มิติสูงกว่า) และดังนั้นเราสามารถหาปริพันธ์ (integrate) ของมันบนพื้นผิวและรูปทรง (manifolds) ที่มีมิติที่สูงกว่า ในทางที่จะวางนัยทั่วไปให้ปริพันธ์เชิงเส้น (line integral) จากแคลคูลัส พีชคณิตเชิงเส้นก็มีคุณสมบัติทางพีชคณิตหลายอย่างซึ่งทำให้มันเป็นเครื่องมือที่ใช้งานได้สะดวกในพีชคณิต การรวมกันของพีชคณิตภายนอกกับปริภูมิเวกเตอร์อันหนึ่งคือรูปแบบหนึ่งของฟังก์เตอร์ (functor) บนปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งหมายถึงมันเข้ากันได้กับการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ พีชคณิตภายนอกเป็นตัวอย่างหนึ่งของพีชคณิตเชิงคู่ (bialgebra) ซึ่งหมายความว่าปริภูมิที่คู่กันของมัน (dual space) ก็มีผลคูณด้วยและผลคูณที่คู่กันนี้เข้ากันได้กับผลคูณภายนอก พีชคณิตเชิงคู่คือพีชคณิตของรูปแบบเชิงหลายเส้นอื่นๆ (alternating multilinear forms) บน ปริภูมิV, และการจับคู่กันระหว่างพีชคณิตภายนอกกับคู่ของมันคือผลคูณภายใน (interior product)