கணிதத்தில் புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது இரு திசையன்களுக்கு இடையே நிகழ்த்தும் ஒரு செயல் அல்லது வினை. இப் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவாய்ப் பெறும் விடை ஒரு பரும அளவுள்ள மெய்யெண்ணே (R) தவிர ஒரு திசையன் அல்ல. மாறாக இதே இரு திசையன்களைக் கொண்டு செய்யும் குறுக்குப் பெருக்கலில் கிடைக்கும் பெருக்கு விளைவு ஒரு திசையன் ஆகும். இந்த புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது யூக்ளீடிய இட வெளியில் உள்முகப் பெருக்கல் எனப்படும்.
a, b என்னும் இரு திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம். இவ்விரு திசையன்களும் திசையன் வெளியில் உள்ள முழுதும் வேறுபட்டவைகளாகக் கொள்வோம். ஈவிரு திசையன்களையும் கீழ்காணுமாறு கொண்டால்
a = [a1, a2, … , an] மற்றும் b = [b1, b2, … , bn], புள்ளிப்பெருக்கலானது:
மேலுள்ளதில் Σ என்னும் குறி தொடர் கூட்டுத் தொகைக் குறி ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டாக முத்திரட்சி (முப்பரிமாணம்) கொண்ட இரு திசையன்கள் [1, 3, −5] மற்றும் [4, −2, −1] ஆகியவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல்:
அணி கணிதத்தில் வழங்கும் பெருக்கலைப் பயன்படுத்த திசையன்களை n×1 அணிகளாகக் கொண்டும் புள்ளிப் பெருக்கலை அறிய கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.:
மேலுள்ளதில் aTa யின் அணித் திருப்பம் என்பதைக் குறிக்கும். மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதை கணித்தால் 1×3 அணி (இங்கு திசையனைக் குறிக்கின்றது) பெருக்கல் 3×1 அணி (அணிப்பெருக்கலில் கிடைப்பது 1×1 அணியாகும். இது ஒரு பரும அளவு கொண்டதே.):
யூக்ளீடிய இட வெளியில் இந்த புள்ளிப் பெருக்கலுக்கும் நீளத்திற்கும் கோணத்திற்கும் நெருங்கிய தொடர்புண்டு. a என்னும் திசையன் தொடர்பாக a•a என்பது a ஐ பக்கமாகக் கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமம். இன்னும் பொதுவாக எண்ணினால் இரண்டாவது திசையன் b ஆக இருக்குமானால்
மேலுள்ளதில் |a| யும் |b| யும் a மற்றும் b நீளத்தை (பரும அளவைக்) குறிக்கும். θ என்பது இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் குறிக்கும்.
|a|•cos(θ) என்பது b யின் மீது படியும் a யின் நிழல் ஆகையால், புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது b யின் நீளத்தோடு பெருக்கப்படும் a யின் படிநிழல் என்று புரிந்து கொள்ளலாம்.
cosine 90° இன் மதிப்பு சுழி (0) ஆகையால் இரு செங்குத்தான திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் தொகை சுழியாகும் (0). a , b ஆகிய இரண்டின் நீளம் ஓர் அலகாக இருப்பின் , அவைகளின் புள்ளிப் பெருக்கல் அவைகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மதிப்பைத் தரும். எனவே இரு திசையன்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தை அறிய கீழ்க்காணும் வாய்பாட்டை (வாய்பாடு = உண்மைக் கூற்று, சமன்பாடு) பயன்படுத்தலாம்:
இயற்பியலில் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவு பரும அளவுள்ள எண்ணாக இல்லாமைல் அது ஒரு இயற்பியல் பண்புடைய ஒன்றின் அலகோடு குறிக்கப்படும்.
எடுத்துக்காட்டு:
செய்யப்படும் வேலை என்பது விசை, நகரும் தொலைவு ஆகிய இரு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்குத் தொகையாகும். வேலை என்பது திசை ஏதும் கொள்ளாத (திசையன் அல்லாத) பரும அளவு மட்டுமே கொண்ட அலவுப் பொருள்.
a, b, மற்றும் c ஆகிய மூன்றும் திசையன்களாக இருப்பின், r என்பது பரும அளவு கொண்ட ஒன்றாக இருப்பின், கீழ்க்காணும் பண்புகள் உண்மையாகும்:
புள்ளிப் பெருக்கல் இடமாற்றம் பண்பு கொள்ளும் (commutative):
புள்ளிப் பெருக்கல் இருநேர்ப் பகிர்வுப் பண்பு கொள்ளும் (bilinear):
புள்ளிப் பெருக்கல் பகிர்ந்தளிப் பண்பு கொள்ளும் (distributive):