டோத்தி எண்

கணிதத்தில் டோத்தி எண் (Dottie number) என்பது

${\displaystyle \cos x=x,}$ என்ற சமன்பாட்டின் தனித்த மெய்யெண் மூலமாக அமைகின்ற மாறிலியாகும்.

டோத்தி எண், கொசைன் சார்பின் தனித்த மெய்மதிப்பு நிலைத்த புள்ளி

இதில் ${\displaystyle \cos }$ இன் தருமதிப்பு ஆரையங்களில் அமையும்.

டோத்தி எண்ணின் தசம விரிவு = ${\displaystyle 0.739085...}$.^[1]

டோத்தி எண், கொசைன் சார்பின் ஒற்றை மெய்மதிப்பு நிலைத்த புள்ளியாகும். மேலும் இது ஒரு விஞ்சிய எண்ணுமாகும்.^[2]

மெய்யெண் தளத்தில் ${\displaystyle \cos x=x,}$ சமன்பாட்டிற்கு ஒரேயொரு தீர்வுதான் உள்ளது என்பதை இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றத்தைக் கொண்டு எளிதாக அறியலாம். இச்சமன்பாட்டை சிக்கலெண்களுக்குப் பொதுமைப்படுத்த, ${\displaystyle \cos z=z}$ (${\displaystyle z}$ ஒரு சிக்கலெண் மாறி) சமன்பாட்டிற்கு முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான தீர்வுகள் கிடைக்கும்.

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ இல் ${\displaystyle f(x)=\cos(x)-x}$ இன் நேர்மாறு சார்புக்கு டெயிலரின் தொடரைப் பயன்படுத்தி டோத்தி எண்ணை தொடராக எழுதலாம்:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {odd} }a_{n}\pi ^{n},}$

இதிலுள்ள ${\displaystyle a_{n}}$ ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருப்பதுடன் n ஒற்றையெண் மதிப்புகளுக்குப் பின்னுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}$^{[3][4][5][nb 1][3]}

அடிக்குறிப்புகள்

1. Kaplan does not give an explicit formula for the terms of the series, which follows trivially from the Lagrange inversion theorem.

மேற்கோள்கள்

1. "OEIS A003957". oeis.org. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2019-05-26.
2. Eric W. Weisstein. "Dottie Number".
3. Kaplan, Samuel R (February 2007). "The Dottie Number". Mathematics Magazine 80: 73. doi:10.1080/0025570X.2007.11953455. https://www.maa.org/sites/default/files/Kaplan2007-131105.pdf. பார்த்த நாள்: 29 November 2017.
4. "OEIS A302977 Numerators of the rational factor of Kaplan's series for the Dottie number". oeis.org. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2019-05-26.
5. "A306254 - OEIS". oeis.org. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2019-07-22.

வெளியிணைப்புகள்

• Miller, T. H. (Feb 1890). "On the numerical values of the roots of the equation cosx = x". Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 9: 80–83. doi:10.1017/S0013091500030868. https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-edinburgh-mathematical-society/article/on-the-numerical-values-of-the-roots-of-the-equation-cosx-x/72D9D6F7A49F980CA4CF92FF153FE837.
• Salov, Valerii (2012). "Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine".
• Azarian, Mohammad K. (2008). "ON THE FIXED POINTS OF A FUNCTION AND THE FIXED POINTS OF ITS COMPOSITE FUNCTIONS". International Journal of Pure and Applied Mathematics. https://ijpam.eu/contents/2008-46-1/3/3.pdf.