பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றம்

கணிதத்தில் பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றம் (Pappus's centroid theorem) என்பது சுழற்சியினால் உருவாகும் மேற்பரப்புகள் மற்றும் திண்மங்களின் மேற்பரப்பளவையும் கன அளவையும் பற்றிய விவரங்களைக் குறிப்பிடும் இரு தொடர்புள்ள தேற்றங்களுள் ஒன்றைக் குறிக்கும். இத்தேற்றம் பாப்பசின் தேற்றம், கல்தினசு தேற்றம், பாப்பசு-கல்தினசு தேற்றம் (Guldinus theorem, Pappus–Guldinus theorem, Pappus's theorem) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

இத்தேற்றத்தைக் கொண்டு, திறந்த உருளை, கூம்பு, கோளம் ஆகியவற்றின் மேற்பரப்பினைக் கணக்கிடல். சுழற்சி அச்சிலிருந்து வடிவவியல் மையங்கள், a (சிவப்பு நிறம்) தொலைவில் உள்ளன.

இந்தத் தேற்றங்கள், அலெக்சாந்திரியாவின் பாப்பசு மற்றும் பால் கல்தின் எனும் இரு அறிஞர்களால் கண்டறியப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது.^[a][b] இத்தேற்றங்களின் கூற்றுகள் முதன்முதலாக 1659 இல் அச்சில் காணப்பட்டதென்றாலும் அதற்கும் முன்பாகவே, 1615 இல் கெப்லராலும் 1640 இல் கல்தினாலும் அறியப்பட்டிருந்தது.^[4]

முதல் தேற்றம்

பாப்பசின் முதல் தேற்றத்தின் கூற்று:

C என்ற வளைவரையை, அந்த வளைவரைக்கு வெளிப்புறமாகவும் அதே தளத்திலும் அமைந்த ஒரு சுழற்சி அச்சைப் பொறுத்துச் சுழற்றுவதனால் உருவாகும் சுழற்சி மேற்பரப்பின் மேற்பரப்பளவு A இன் அளவானது, சுழலும் வளைவரையின் வில்லின் நீளம் (s) மற்றும் சுழற்சியின் போது அதன் திணிவு மையம் பயணிக்கும் தூரம் (s) இரண்டின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.

${\displaystyle A=sd.}$

எடுத்துக்காட்டாக, சிறு ஆரம் r ; பெரிய ஆரம் R கொண்ட ஒரு உருள்வளையத்தின் மேற்பரப்பளவு:

${\displaystyle A=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.}$

இரண்டாவது தேற்றம்

பாப்பசின் இரண்டாவது தேற்றக் கூற்று:

F என்ற தள வடிவை அதற்கு வெளிப்புறம் அமைந்த ஒரு அச்சைப் பொறுத்து சுழற்றுவதால் உண்டாகும் திண்மத்தின் கன அளவு V ஆனது, F இன் பரப்பளவு A மற்றும் சுழற்சியின் போது அதன் திணிவு மையம் பயணிக்கும் தூரம் (d) இரண்டின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும். (தள வடிவம் F இன் திணிவு மையமும், அதன் வரம்பு வளைவரை C இன் திணிவு மையமும் வெவ்வேறானவை)

${\displaystyle V=Ad.}$

எடுத்துக்காட்டாக, சிறு ஆரம் r ; பெரிய ஆரம் R கொண்ட ஒரு உருள்வளையத்தின் கனவளவு:

${\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}.}$

மேலுள்ள உருள்வளையத்தின் கனவளவு அறிஞர் கெப்லரால் நுண்ணளவுகளைப் பயன்படுத்திக் கண்டறியப்பட்டது.^[c]

அடிக்குறிப்புகள்

1. See:^[1]

   They who look at these things are hardly exalted, as were the ancients and all who wrote the finer things. When I see everyone occupied with the rudiments of mathematics and of the material for inquiries that nature sets before us, I am ashamed; I for one have proved things that are much more valuable and offer much application. In order not to end my discourse declaiming this with empty hands, I will give this for the benefit of the readers:
   The ratio of solids of complete revolution is compounded of (that) of the revolved figures and (that) of the straight lines similarly drawn to the axes from the centers of gravity in them; that of (solids of) incomplete (revolution) from (that) of the revolved figures and (that) of the arcs that the centers of gravity in them describe, where the (ratio) of these arcs is, of course, (compounded) of (that) of the (lines) drawn and (that) of the angles of revolution that their extremities contain, if these (lines) are also at (right angles) to the axes. These propositions, which are practically a single one, contain many theorems of all kinds, for curves and surfaces and solids, all at once and by one proof, things not yet and things already demonstrated, such as those in the twelfth book of the First Elements.

   — Pappus, Collection, Book VII, ¶41‒42

2. "Quantitas rotanda in viam rotationis ducta, producit Potestatem Rotundam uno gradu altiorem, Potestate sive Quantitate rotata."^[2] That is: "A quantity in rotation, multiplied by its circular trajectory, creates a circular power of higher degree, power, or quantity in rotation."^[3]
3. Theorem XVIII of Kepler's Nova Stereometria Doliorum Vinariorum (1615):^[5] "Omnis annulus sectionis circularis vel ellipticae est aequalis cylindro, cujus altitudo aequat longitudinem circumferentiae, quam centrum figurae circumductae descripsit, basis vero eadem est cum sectione annuli." Translation:^[3] "Any ring whose cross-section is circular or elliptic is equal to a cylinder whose height equals the length of the circumference covered by the center of the figure during its circular movement, and whose base is equal to the section of the ring."