ஃபெர்மா எண்

கணிதத்தில் ஃபெர்மா (Pierre de Fermat 1601-1665) என்பவர் பகாதனி (Prime) களைப் பற்றி பல கேள்விகள் எழுப்பினார்.

${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$, n = 0,1,2,3, ...^[1][2][3]

என்ற எண்கள் ஃபெர்மாவின் பெயரை உடைத்தவை. அவைகளெல்லாமே பகாதனிகளாக இருக்கும் என்பது ஃபெர்மாவின் யூகம். n = 0,1,2,3,4 க்கு ஒத்ததான ஐந்து ஃபெர்மா எண்கள் பகாதனிகள் தாம். இவ்வைந்தும் ஃபெர்மா பகா எண்கள் அல்லது ஃபெர்மா பகாதனிகள் என்று பெயர் பெறும். ஆனால் ஆறாவது, அதாவது,

${\displaystyle 2^{2^{5}}+1}$

பகா எண்ணல்ல. இதை 100 ஆண்டுகள் கழித்து அவ்வெண்ணுக்கு 641 என்ற எண் காரணியாக உள்ளது என்று ஆய்லர் கொடுத்த நிறுவல் தீர்த்து வைத்தது. இந்த ஆய்வில் இன்னும் தீராத சுவையான பிரச்சினை: ஃபெர்மா பகாதனிகள் இவ்வைந்துதானா, இன்னும் உளதா?

ஐந்து ஃபெர்மா பகாதனிகள்

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}$ இங்கு ${\displaystyle n}$ ஒர் எதிர்மமில்லாத முழு எண்.

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

தீர்வு காணப்படாத பிறழ்ச்சனை

இவ்வெண்களை ஃபெர்மா முதலில் அறிமுகப்படுத்தும்போது, எல்லா ${\displaystyle n}$ க்கும், ${\displaystyle F_{n}}$ கள் பகா எண்களாக இருக்கவேண்டும் என்று யூகித்தார். ஆனால் ${\displaystyle F_{5}}$ பகா எண்ணல்ல என்று ஆய்லர் காட்டினவுடன் நிலைமை மாறுபட்டது. 1796 இல் காஸினுடைய யூகமோ, ஃபெர்மா பகாதனிகள் ${\displaystyle F_{0},F_{1},F_{2},F_{3},F_{4}}$ ஆகிய ஐந்து மட்டுமே என்பது. இந்த யூகம் இன்னும் (2007 வரையில்) நிரூபிக்கப்படவில்லை.

வடிவியல் வரைமுறைகள்

கிரேக்கர்கள் காலத்திலிருந்து மட்டக்கோல், கவராயம் இவைகளை மாத்திரம் வைத்துக்கொண்டு ஒழுங்குப் பலகோணம் வரைவதெப்படி என்று ஆய்வுகள் இருந்தவண்ணமே உள்ளன. 3,4,5,6, 8, 10, 15 பக்கங்களுள்ள ஒழுங்குப் பலகோணத்தின் வரைமுறை அவர்களுக்குத் தெரிந்திருந்தது. ஆனால் 7,9,11,13 .... முதலிய பக்கங்களுடைய ஒழுங்குப் பலகோணத்தின் வரைமுறையைக் கண்டுபிடிக்க முயன்று தோற்றுப் போனவர்கள் பலர். கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் தான் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கை n உள்ள பக்கங்களைக் கொண்ட ஒழுங்குப் பலகோணம் மட்டக்கோல், கவராயம் இரண்டைக் கொண்டு வரையப்படவேண்டுமென்றால், n ஒரு ஃபெர்மா பகா எண்ணாகவோ அல்லது அவைகளின் பெருக்குத்தொகையாகவோ இருந்தாக வேண்டும் என்று கண்டுபிடித்தார். 18வது வயதில் இதைக் கண்டுபிடித்தவுடனேதான் தன் கணிதக் கண்டுபிடிப்புகளுக்காக நாட்குறிப்பு எழுதத் தொடங்கினார். அவர் காலமாகி 43 ஆண்டுகள் கழித்தே அவருடைய நாட்குறிப்பு உலகத்தாரின் முன்னிலையில் வைக்கப்பட்டது. காஸினுடைய கண்டுபிடிப்பின்படி, கிரேக்கர்களுக்குத் தெரிந்த 3, 5, 15 ஐத்தவிர 17, 257, 65537 பக்கங்களுக்கும் அல்லது இவைகளின் பெருக்குத்தொகையை எண்ணிக்கையாகக் கொண்ட பக்கங்களுக்கும் ஒழுங்குப் பலகோணம் மட்டக்கோல், கவராயம் இவைகளை மட்டும் கொண்டு வரையமுடியும்.

ஆனால் 7, 9, 11, 13, ... ஆகிய எண்ணிக்கை கொண்ட பக்கங்களுடன் ஒழுங்குப் பலகோணம் மட்டக்கோல் கவராயம் இவைகளை மட்டும் கொண்டு வரைய முடியாது என்பதும் நிரூபணம் ஆகியது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• எண் கோட்பாடு
• கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்
• ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம்

துணை நூல்கள்

• Heinrich Tietze. Famous Problems of Mathematics.1965. Graylock Press, Baltimore. Library of Congress Catalog Card Number 64-8910. (Chapters IX and XIII).

மேற்கோள்கள்

1. Křížek, Luca & Somer 2001, ப. 38, Remark 4.15
2. Chris Caldwell, "Prime Links++: special forms" பரணிடப்பட்டது 2013-12-24 at the வந்தவழி இயந்திரம் at The Prime Pages.
3. Boklan, Kent D.; Conway, John H. (2017). "Expect at most one billionth of a new Fermat Prime!". The Mathematical Intelligencer 39 (1): 3–5. doi:10.1007/s00283-016-9644-3.