TA
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

அடுக்குச் சராசரி

From Wikipedia, the free encyclopedia

அடுக்குச் சராசரி
•
•
•
•
•
வரையறைசிறப்பு வகைகள்பண்புகள்சமனின்மைஎதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மைபெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மைஇரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மைபெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாகசிறும மற்றும் பெரும மதிப்புபொதுமைப்படுத்தப்பட்ட f {\displaystyle f} -சராசரிசான்றுகள்வெளி இணைப்புகள்

கணிதத்தில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி (generalized mean) அல்லது அடுக்குச் சராசரி (power mean) என்பது பித்தாகரசின் சராசரிகளான கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி மற்றும் இசைச் சராசரிகளின் சாராம்சமாகும்.

வரையறை

p ஒரு பூச்சியமில்லா மெய்யெண் எனில், x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} என்னும் நேர்ம மெய்யெண்களின் p -அடுக்கு கொண்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி அல்லது அடுக்குச் சராசரி:[1]

M p ( x 1 , … , x n ) = ( 1 n ∑ i = 1 n x i p ) 1 / p {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}} {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}}

p -ன் மதிப்பு பூச்சியமெனில் இச்சராசரி, பெருக்கல் சராசரியாக இருக்குமெனக் கொள்ளல் வேண்டும்:

M 0 ( x 1 , … , x n ) = ∏ i = 1 n x i n {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}} {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}

மேலும் w = ∑ w i {\displaystyle w=\sum w_{i}} {\displaystyle w=\sum w_{i}} என அமையும் நேர்ம எடைகள் w i {\displaystyle w_{i}} {\displaystyle w_{i}} -களுக்கு எடையிடப்பட்ட அடுக்குச் சராசரியினைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

M p ( x 1 , … , x n ) = ( 1 w ∑ i = 1 n w i x i p ) 1 / p {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{w}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}} {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{w}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}}
M 0 ( x 1 , … , x n ) = ∏ j = 1 n x j w j w {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{w}]{\prod _{j=1}^{n}x_{j}^{w_{j}}}}} {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{w}]{\prod _{j=1}^{n}x_{j}^{w_{j}}}}}

இவ்வாய்ப்பாடு எளிமையாக அமைய எடைகளை இயல்நிலைப்படுத்திக் கொள்ளலாம்:

அதாவது, ∑ i = 1 n w i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{w_{i}}=1} {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{w_{i}}=1}

M p ( x 1 , … , x n ) = ( ∑ i = 1 n w i x i p ) 1 / p {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}} {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}}
M 0 ( x 1 , … , x n ) = ∏ i = 1 n x i w i {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}} {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}

சம எடைகள் ( 1/n) கொண்ட தரவாகக் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் எடையிடப்படாத சராசரிகளைக் காணமுடியும். அடுக்கு, நேர்ம அல்லது எதிர்ம முடிவிலியாக இருக்கும்போது அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்பு முறையே பெரும அல்லது சிறும மதிப்பாக அமையும்(எடைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாமல்).

M ∞ ( x 1 , … , x n ) = max ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},\dots ,x_{n})} {\displaystyle M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},\dots ,x_{n})}
M − ∞ ( x 1 , … , x n ) = min ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},\dots ,x_{n})} {\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},\dots ,x_{n})}

சிறப்பு வகைகள்

Thumb
n=2-வகையின் படவிளக்கம்.
lim p → − ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = min { x 1 , … , x n } {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} சிறும மதிப்பு
M − 1 ( x 1 , … , x n ) = n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}} {\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}} இசைச் சராசரி
lim p → 0 M p ( x 1 , … , x n ) = x 1 ⋅ ⋯ ⋅ x n n {\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}} {\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}} பெருக்கல் சராசரி
M 1 ( x 1 , … , x n ) = x 1 + ⋯ + x n n {\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}} {\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}} கூட்டுச் சராசரி
M 2 ( x 1 , … , x n ) = x 1 2 + ⋯ + x n 2 n {\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}} {\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}} இருபடிச் சராசரி
lim p → ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = max { x 1 , … , x n } {\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} {\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} பெரும மதிப்பு

[2]

பண்புகள்

  • எல்லாச் சராசரிகளையும் போல பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியும் சமச்ச்சீர்தன்மை உடையது.
b ஒரு நேர்ம மெய்யெண் என்க.

M p ( b x 1 , … , b x n ) {\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})} {\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})} = b M p ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle bM_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})} {\displaystyle bM_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}

  • M p ( x 1 , … , x n ⋅ k ) = M p ( M p ( x 1 , … , x k ) , M p ( x k + 1 , … , x 2 ⋅ k ) , … , M p ( x ( n − 1 ) ⋅ k + 1 , … , x n ⋅ k ) ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}(M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))} {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}(M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}

சமனின்மை

p < q எனில்,

M p ( x 1 , … , x n ) ≤ M q ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})} {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}

x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே M p {\displaystyle M_{p}} {\displaystyle M_{p}}, M q {\displaystyle M_{q}} {\displaystyle M_{q}} இரண்டும் சமம்.

p -ன் பூச்சிய மதிப்பு, பூச்சியமற்ற மெய்யெண் மதிப்பு, நேர்ம மற்றும் எதிர்ம முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு இச்சமனின்மை உண்மையாகும்,

குறிப்பாக p ∈ { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle p\in \{-1,0,1\}} {\displaystyle p\in \{-1,0,1\}} எனில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மை பித்தாரசின் சராசரிகளின் சமனின்மை மற்றும் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையுமாகும்.

எடையிடப்பட்ட பொதுமைச் சராசரியின் சமனின்மைமையை நிறுவ,

w i ∈ ( 0 ; 1 ] {\displaystyle w_{i}\in (0;1]} {\displaystyle w_{i}\in (0;1]}
∑ i = 1 n w i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1} {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1} எனவும்,

எடையிடப்படாத பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மையை நிறுவ w i = 1 n {\displaystyle w_{i}={\frac {1}{n}}} {\displaystyle w_{i}={\frac {1}{n}}} எனவும் எடுத்துக்கொள்ளல் வேண்டும்.

எதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மை

p மற்றும் q எனும் இரு அடுக்குகளுக்கு அடுக்குச் சராசரிகள் பின்வரும் சமனின்மையைக் கொண்டிருந்தால்:

∑ i = 1 n w i x i p p ≤ ∑ i = 1 n w i x i q q {\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}} {\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}

இதிலிருந்து

∑ i = 1 n w i x i p p ≤ ∑ i = 1 n w i x i q q {\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}} {\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}} என எழுதலாம்.

இருபுறமும் அடுக்கினை −1 க்கு உயர்த்த (நேர்ம மெய் குறையும் சார்பு):

∑ i = 1 n w i x i − p − p = 1 ∑ i = 1 n w i 1 x i p p ≥ 1 ∑ i = 1 n w i 1 x i q q = ∑ i = 1 n w i x i − q − q {\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}} {\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}

எனவே அடுக்குகள், −p மற்றும் −q -க்கான அடுக்குச் சராசரிகளிக்கான சமனின்மை கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து முன்பு செய்த இதே செயல்முறைகளை எதிர்வரிசையில் செய்து சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மையை நிறுவலாம்.

பெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மை

q அடுக்கு கொண்ட அடுக்குச் சராசரிக்கும் பெருக்கல் சராசரிக்குமிடையே அமையும் சமனின்மை:

∏ i = 1 n x i w i ≤ ∑ i = 1 n w i x i q q {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}} {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}...................(q -நேர்மம்).
∑ i = 1 n w i x i q q ≤ ∏ i = 1 n x i w i {\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}} {\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}.....................(q -எதிர்மம்).

இருபுறமும் அடுக்கு q -க்கு உயர்த்த:

∏ i = 1 n x i w i ⋅ q ≤ ∑ i = 1 n w i x i q {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}} {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}
∑ i = 1 n w i x i q ≤ ∏ i = 1 n x i w i ⋅ q {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}} {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}}

இவ்விரண்டும் x i q {\displaystyle x_{i}^{q}} {\displaystyle x_{i}^{q}} என்ற தொடரின் எடையிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரி மற்றும் எடையிடப்பட்ட பெருக்கல் சராசரிகளுக்கிடையேயான சமனின்மையாக அமையும்.

மடக்கைச் சார்புகள் குழிவானவை என்பதால்:

∑ i = 1 n w i log ⁡ ( x i ) ≤ log ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)} {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}
log ⁡ ( ∏ i = 1 n x i w i ) ≤ log ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i ) {\displaystyle \log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)} {\displaystyle \log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}

இருபுறமும் அடுக்குக்குறிச் சார்புக்கு மாற்ற:

∏ i = 1 n x i w i ≤ ∑ i = 1 n w i x i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}} {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}

எனவே எந்தவொரு நேர்ம q - மதிப்பிற்கும்:

∑ i = 1 n w i x i − q − q ≤ ∏ i = 1 n x i w i ≤ ∑ i = 1 n w i x i q q {\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}} {\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}

எனவே பெருக்கல் சராசரிக்கும் அடுக்குச் சராசரிக்குமிடையேயான சமனின்மை நிறுவப்படுகிறது.

இரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மை

p < q - அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமனின்மை உண்மை என நிறுவ வேண்டும்:

∑ i = 1 n w i x i p p ≤ ∑ i = 1 n w i x i q q {\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}} {\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}

p எதிர்மம், q நேர்மமாக இருந்தால் இச்சமனின்மை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட பின்வரும் சமனின்மைக்குச் சமானமானதாகும்:

∑ i = 1 n w i x i p p ≤ ∏ i = 1 n x i w i ≤ ∑ i = 1 n w i x i q q {\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}} {\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}

p , q இரண்டும் நேர்மமாக இருக்கும்போது நிறுவல் பின்வருமாறு:

சார்பு f -ஐ பின்வருமாறு வரையறுத்துக் கொள்ளலாம்:

f : R + → R + , {\displaystyle f:{\mathbb {R} _{+}}\rightarrow {\mathbb {R} _{+}},} {\displaystyle f:{\mathbb {R} _{+}}\rightarrow {\mathbb {R} _{+}},} f ( x ) = x q p {\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}} {\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}.

f அடுக்குச் சார்பானதால் அதற்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு உண்டு:

f ″ ( x ) = ( q p ) ( q p − 1 ) x q p − 2 , {\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},} {\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},}

f -ன் ஆட்களத்தில் இவ்வகையீட்டின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். மேலும் q > p என்பதால் f குவிச் சார்பாக இருக்கும்.

எனவே ஜென்சன் சமனின்மையின்படி:

f ( ∑ i = 1 n w i x i p ) ≤ ∑ i = 1 n w i f ( x i p ) {\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})} {\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})}
∑ i = 1 n w i x i p q p ≤ ∑ i = 1 n w i x i q {\displaystyle {\sqrt[{\frac {q}{p}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}} {\displaystyle {\sqrt[{\frac {q}{p}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}

இருபுறமும் 1/q அடுக்குக்கு உயர்த்த:

∑ i = 1 n w i x i p p ≤ ∑ i = 1 n w i x i q q {\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}} {\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}

முன்பு நிறுவிய அடுக்குச் சராசரிகளின் சமானத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி, p , q -க்குப் பதிலாக முறையே −q and −p, பிரதியிட்டு இச்சமனின்மையை p , q இரண்டும் எதிர்மமாக இருக்கும்போதும் உண்மை என்பதை நிறுவலாம்.

பெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாக

அடுக்குச் சராசரியில் அடுக்கின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை மதிப்பாக பெருக்கல் சராசரியைக் கொள்ளலாம்.

lim p → 0 ∑ i = 1 n w i x i p p = ∏ i = 1 n x i w i {\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}

இதை நிறுவுவதற்குத் தேவையான, பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவலாம்:

lim p → 0 log ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) p = ∑ i = 1 n w i log ⁡ ( x i ) {\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})} {\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}

இவ்வெல்லையின் பகுதி மற்றும் தொகுதிகளின் எல்லை மதிப்புகள் பூச்சியமாக இருப்பதால் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த:

lim p → 0 log ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) p = lim p → 0 1 ∑ i = 1 n w i x i p ⋅ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) ′ = {\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)'=} {\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)'=}
= 1 ∑ i = 1 n w i ⋅ lim p → 0 ∑ i = 1 n ( w i ⋅ log ⁡ ( x i ) ⋅ x i p ) = ∑ i = 1 n w i log ⁡ ( x i ) {\displaystyle ={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\cdot \lim _{p\to 0}\sum _{i=1}^{n}(w_{i}\cdot \log(x_{i})\cdot x_{i}^{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})} {\displaystyle ={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\cdot \lim _{p\to 0}\sum _{i=1}^{n}(w_{i}\cdot \log(x_{i})\cdot x_{i}^{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}

அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையின்படி:

lim p → 0 ∑ i = 1 n w i x i p p = lim p → 0 exp ⁡ ( log ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) p ) = exp ⁡ ( lim p → 0 log ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) p ) = exp ⁡ ( ∑ i = 1 n w i log ⁡ ( x i ) ) = ∏ i = 1 n x i w i {\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to 0}\exp \left({\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)\\&=\exp \left(\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to 0}\exp \left({\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)\\&=\exp \left(\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}

என்வே பெருக்கல் சராசரியானது அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கு பூச்சியத்தை நெருங்கும் எல்லை மதிப்பு என்பது நிறுவப்பட்டது.

சிறும மற்றும் பெரும மதிப்பு

அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கின் மதிப்பு, − ∞ {\displaystyle -\infty } {\displaystyle -\infty } மற்றும் + ∞ {\displaystyle +\infty } {\displaystyle +\infty } -ஆக நெருங்கும் எல்லைநிலையில் அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்புகள் சிறும மற்றும் பெரும மதிப்புகளாக அமையும்.

அனைத்து xi -களில் பெரும மதிப்பு - x1, சிறும மதிப்பு - xn என்க.

பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவிக் கொள்ளலாம்:

lim p → ∞ ( 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p x 1 p ) ) = 0 {\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=0} {\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=0}

p நேர்மம் எனில்:

1 p ln ⁡ ( w 1 ) = 1 p ln ⁡ ( w 1 x 1 p x 1 p ) ≤ 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p x 1 p ) ≤ 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x 1 p x 1 p ) = ln ⁡ ( 1 ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{1})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{1}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\ln(1)=0} {\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{1})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{1}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}

இந்த எல்லை மதிப்பைப் பயன்படுத்த:

lim p → ∞ 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) = lim p → ∞ 1 p ln ⁡ ( x 1 p ⋅ ∑ i = 1 n w i x i p x 1 p ) = lim p → ∞ ( ln ⁡ ( x 1 p ) p ) + lim p → ∞ ( 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p x 1 p ) ) = ln ⁡ ( x 1 ) + 0 = ln ⁡ ( x 1 ) {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(x_{1}^{p}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\lim _{p\to \infty }\left({\frac {\ln(x_{1}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{1})+0=\ln(x_{1})} {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(x_{1}^{p}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\lim _{p\to \infty }\left({\frac {\ln(x_{1}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{1})+0=\ln(x_{1})} என நிறுவலாம்.

இறுதியாக அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

lim p → ∞ ∑ i = 1 n w i x i p p = lim p → ∞ exp ⁡ ( 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) ) = exp ⁡ ( lim p → ∞ 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) ) = x 1 {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to \infty }\exp \left({\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=\exp \left(\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{1}} {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to \infty }\exp \left({\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=\exp \left(\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{1}}

p எதிர்மம் என்க:

lim p → − ∞ ( 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x n p x n p ) ) = 0 {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=0} {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=0}

p < 0 எனில்:

1 p ln ⁡ ( w n ) = 1 p ln ⁡ ( w n x n p x n p ) ≥ 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p x n p ) ≥ 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x n p x n p ) = ln ⁡ ( 1 ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{n})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{n}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)=\ln(1)=0} {\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{n})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{n}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}

எனவே:

lim p → − ∞ 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) = lim p → − ∞ ( ln ⁡ ( x n p ) p ) + lim p → − ∞ ( 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p x n p ) ) = ln ⁡ ( x n ) {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {\ln(x_{n}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{n})} {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {\ln(x_{n}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{n})}

மீண்டும் அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

lim p → − ∞ ∑ i = 1 n w i x i p p = exp ⁡ ( lim p → − ∞ 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) ) = x n {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\exp \left(\lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{n}} {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\exp \left(\lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{n}}

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட f {\displaystyle f} -சராசரி

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட f {\displaystyle f} {\displaystyle f}- சராசரியாக அடுக்குச் சராசரியை மேலும் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

M f ( x 1 , … , x n ) = f − 1 ( 1 n ⋅ ∑ i = 1 n f ( x i ) ) {\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)} {\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}

சான்றுகள்

  1. [1]
    de Carvalho, Miguel (2016). "Mean, what do you Mean?". The American Statistician 70 (3): 764‒776. doi:10.1080/00031305.2016.1148632. https://zenodo.org/record/895400.
  2. [2]
    Weisstein, Eric W., "Power Mean", MathWorld. (retrieved 2019-08-17)

வெளி இணைப்புகள்

  • Power mean at MathWorld
  • Examples of Generalized Mean
  • A proof of the Generalized Mean on PlanetMath
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.