Grupa (matymatyka)

Grupa - we matymatyce je to para zbajstlowano ze skuplowańo myngi (${\displaystyle G}$) a dwuargumyntowego dźołańo (${\displaystyle \circ }$) cuzamyn, przi czym prawe muszům być take regle:

1. Jak ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ sům elemyntůma uod ${\displaystyle G}$, to tyż ${\displaystyle a\circ b}$ je elemyntym uod ${\displaystyle G}$.
2. Dźołańe jest asocjatywne: ${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$, przi czym ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ noleżům do ${\displaystyle G}$.
3. Je taki elemynt ${\displaystyle e}$ we ${\displaystyle G}$, aże: ${\displaystyle g\circ e=g=e\circ g}$ lo kożdygo elemyntu ${\displaystyle g}$ we ${\displaystyle G}$. Elemynt ${\displaystyle e}$ mjanujymy neutralnym.
4. Lo kożdygo elemyntu ${\displaystyle g}$ we ${\displaystyle G}$ do śe znojść elemynt ${\displaystyle g^{-1}}$, kery tyż noleżi do ${\displaystyle G}$ taki, aże: ${\displaystyle g\circ g^{-1}=g^{-1}\circ g=e}$. Elemynt ${\displaystyle g^{-1}}$ mjanujymy uodwrotnym abo inwersyjům uod ${\displaystyle g}$.

Uobrocańe kostki Rubika wroz ze kombinacyjůma ji ustawjyńa bajstlujům grupa.

Jeli krům tygo prawe je: ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$ lo kożdych elemyntůw ${\displaystyle a,b}$ uod ${\displaystyle G}$ to grupa tako mjanowano je abelowům^[1].

Grupa je szrajbowano zauobycz we postaći ${\displaystyle (G;\circ )}$ kaj ${\displaystyle G}$ je myngům, a ${\displaystyle \circ }$ dźołańym. Roz a kedy używany je szrajbůnek ${\displaystyle (G;\circ ,e,g^{-1})}$, kaj ${\displaystyle e}$ je neutralnym elemyntym a ${\displaystyle g^{-1}}$ uodwrotnym.

Tajla matymatyki, ftoro bado własnośći grupůw to teoryjo grupůw. Pjyrszym co doł anfang tymu pojyńću bůł Évariste Galois we 1830.

Bajszpile

• ${\displaystyle (\mathbb {Z}$ ;+)} , kaj ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ je myngům cołkowitych nůmerůw a ${\displaystyle +}$ dodowańym.

Neutralny elemynt: ${\displaystyle 0}$

Lo kożdygo ${\displaystyle g\in G}$ uodwrotnym elemyntym je ${\displaystyle -g}$.

• ${\displaystyle (\mathbb {R}$ ;+)} , kaj ${\displaystyle \mathbb {R} }$ je myngům realnych nůmerůw a ${\displaystyle +}$ dodowańym.

Neutralny elemynt: ${\displaystyle 0}$

Lo kożdygo ${\displaystyle g\in G}$ uodwrotnym elemyntym je ${\displaystyle -g}$.

• ${\displaystyle (A;\circ )}$, kaj ${\displaystyle A=}${${\displaystyle 1,3,7,9}$}, a ${\displaystyle \circ }$ je takim dźołańym, aże wert dźołańo ${\displaystyle a\circ b}$ je resztům ze tajlowańo bez ${\displaystyle 10}$ ilorazu ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$. Na tyn przikłod ${\displaystyle 7\circ 9=3}$.

Neutralny elemynt: ${\displaystyle 1}$

Lo ${\displaystyle 1}$ uodwrotnym elemyntym je ${\displaystyle 1}$

Lo ${\displaystyle 3}$ uodwrotnym elemyntym je ${\displaystyle 7}$

Lo ${\displaystyle 7}$ uodwrotnym elemyntym je ${\displaystyle 3}$

Lo ${\displaystyle 9}$ uodwrotnym elemyntym je ${\displaystyle 9}$

• Diederowo grupa lo kwadratu (fachowo szrajbowano ${\displaystyle D_{4}}$):

Ji mynga mo wszyjske mogebne symetryje kwadrata, a dźołańe je kůplowańym tych symetryjůw tak, aże lo ${\displaystyle a\circ b=c}$ (kaj ${\displaystyle a,b,c\in G}$) ${\displaystyle c}$ je symetryjům zbajstlowanům bez zrobjyńy nojsamprzůd symetryji ${\displaystyle a}$, potym ${\displaystyle b}$ na kwadraće. Tako grupa mogymy zapisać kej:

${\displaystyle (A;\circ )}$, kaj ${\displaystyle A=}${${\displaystyle id,\circlearrowleft ,\curvearrowleft ,\circlearrowright ,\leftrightarrow ,\updownarrow ,\searrow ,\swarrow }$}^[2].

Neutralnym elemynt: ${\displaystyle id}$

Inwerysjo uod kożdygo elemyntu pokozano je we tabůli ńiżyj:

${\displaystyle g}$	${\displaystyle id}$	${\displaystyle \circlearrowleft }$	${\displaystyle \circlearrowright }$	${\displaystyle \curvearrowleft }$	${\displaystyle \leftrightarrow }$	${\displaystyle \updownarrow }$	${\displaystyle \searrow }$	${\displaystyle \swarrow }$
${\displaystyle g^{-1}}$	${\displaystyle id}$	${\displaystyle \circlearrowright }$	${\displaystyle \circlearrowleft }$	${\displaystyle \curvearrowleft }$	${\displaystyle \leftrightarrow }$	${\displaystyle \updownarrow }$	${\displaystyle \searrow }$	${\displaystyle \swarrow }$

Zuobrazowańe elemyntůw grupy ${\displaystyle D_{4}}$:

${\displaystyle id}$	${\displaystyle \circlearrowright }$	${\displaystyle \curvearrowleft }$	${\displaystyle \circlearrowleft }$
${\displaystyle \updownarrow }$	${\displaystyle \leftrightarrow }$	${\displaystyle \searrow }$	${\displaystyle \swarrow }$

Przipisy

1. Mjano abelowo grupa połaźi uod Nielsa Henrika Abela (1802–1829), norwyskego matymatykera.
2. • ${\displaystyle id}$ - uostawjo kwadrat taki jaki je (neutralny elemynt).
   • ${\displaystyle \circlearrowleft }$ - uobrót uo 90 stopńůw.
   • ${\displaystyle \curvearrowleft }$ - uobrót uo 180 stopńůw.
   • ${\displaystyle \circlearrowright }$ - uobrót uo 270 stopńůw.
   • ${\displaystyle \leftrightarrow }$ - poźůme uodbiće
   • ${\displaystyle \updownarrow }$ - pjonowe uodbiće
   • ${\displaystyle \searrow }$ - uodbiće wele uośi, kero lyźe ze gůrnyj lewyj do dolnyj prawyj eki
   • ${\displaystyle \swarrow }$ - uodbiće wele uośi, kero lyźe ze gůrnyj prawyj do dolnyj lewyj eki