Trigonometriska ettan

Trigonometriska ettan är ett trigonometriskt samband som erhålls om Pythagoras sats tillämpas på enhetscirkeln (figur 1):^[1]

Enhetscirkeln

${\displaystyle \sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1\,.}$

Sambanden mellan kvadraterna på sinus, cosinus, tangens och cotangens för en vinkel

Omstrukturerad ger trigonometriska ettan de mycket användbara:

${\displaystyle \sin ^{2}t=1-\cos ^{2}t}$ och

${\displaystyle \cos ^{2}t=1-\sin ^{2}t}$.

vilka genom division med ${\displaystyle \cos ^{2}t}$ ger (efter lite omstrukturering^[2]):

${\displaystyle \sin ^{2}t={\frac {\tan ^{2}t}{1+\tan ^{2}t}}}$ och

${\displaystyle \cos ^{2}t={\frac {1}{1+\tan ^{2}t}}}$.

medan division med ${\displaystyle \sin ^{2}t}$ på samma sätt ger:

${\displaystyle \sin ^{2}t={\frac {1}{1+\cot ^{2}t}}}$ och

${\displaystyle \cos ^{2}t={\frac {\cot ^{2}t}{1+\cot ^{2}t}}}$.

Och om vi i stället dividerar ${\displaystyle \sin ^{2}t=1-\cos ^{2}t}$ och ${\displaystyle \cos ^{2}t=1-\sin ^{2}t}$ med varandra får vi:

${\displaystyle \tan ^{2}t={\frac {\sin ^{2}t}{1-\sin ^{2}t}}={\frac {1-\cos ^{2}t}{\cos ^{2}t}}}$ och omvänt

${\displaystyle \cot ^{2}t={\frac {\cos ^{2}t}{1-\cos ^{2}t}}={\frac {1-\sin ^{2}t}{\sin ^{2}t}}}$

För att göra listan fullständig har vi från definitionerna av tangens och cotangens även:

${\displaystyle \tan ^{2}t={\frac {1}{\cot ^{2}t}}}$

${\displaystyle \cot ^{2}t={\frac {1}{\tan ^{2}t}}}$

Bevis

Med rätvinkliga trianglar

I rätvinkliga trianglar har man följande relationer för en vinkel ${\displaystyle x}$ med motstående katet ${\displaystyle a}$, närliggande katet ${\displaystyle b}$ och hypotenusan ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle \sin x={\frac {a}{c}}}$

${\displaystyle \cos x={\frac {b}{c}}}$

Av detta följer

${\displaystyle {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1}$

Den sista likheten följer av sambandet ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ enligt Pythagoras sats.

Observera att detta endast bevisar satsen för vinklar mellan 0 och ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ radianer. För att bevisa satsen för de vinklar ${\displaystyle \ x}$ som uppfyller ${\displaystyle -\pi \leq x\leq \pi }$ (detta intervall är tillräckligt då sinus och cosinus är periodiska funktioner), kan man se att

${\displaystyle \cos(x+{\frac {\pi }{2}})=-\sin x}$

${\displaystyle \sin(x+{\frac {\pi }{2}})=\cos x}$

Av detta följer

${\displaystyle {\cos }^{2}(x+{\frac {\pi }{2}})=(-\sin(x))^{2}={\sin }^{2}x}$

${\displaystyle {\sin }^{2}(x+{\frac {\pi }{2}})={\cos }^{2}x}$

Vilket visar att sambandet gäller för ${\displaystyle 0\leq x\leq \pi }$. Vi vet att:

${\displaystyle \cos(-x)=\cos x\,}$

${\displaystyle \sin(-x)=-\sin x\,}$

Av vilket följer

${\displaystyle \ {\cos }^{2}(-x)={\cos }^{2}x,}$

${\displaystyle \ {\sin }^{2}(-x)=(-\sin(x))^{2}={\sin x}^{2}}$

Vilket visar att sambandet ${\displaystyle {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\,}$ gäller för intervallet ${\displaystyle -\pi \leq x\leq \pi }$ och därmed för alla ${\displaystyle \ x}$.

Med enhetscirkel

Koordinaterna på enhetscirkeln kan beskrivas med (där ${\displaystyle \alpha }$ är vinkeln):

${\displaystyle x=\cos \alpha \,}$

${\displaystyle y=\sin \alpha \,}$

Dessa koordinater uppfyller även sambandet (cirkelns ekvation):

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,}$

Ur detta följer att

${\displaystyle {\sin }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\alpha =1\,}$

Anmärkningar

1. Ekbom, Lennart (1978). Tabeller och formler N T Te. Nacka: Esselte Studium. sid. 56. ISBN 91-24-27604-9
2. ${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}t}{\cos ^{2}t}}={\frac {1-\cos ^{2}t}{\cos ^{2}t}}={\frac {1}{cos^{2}t}}-{\frac {cos^{2}t}{cos^{2}t}}\Leftrightarrow \tan ^{2}t={\frac {1}{cos^{2}t}}-1\Leftrightarrow 1+\tan ^{2}t={\frac {1}{cos^{2}t}}\Leftrightarrow \cos ^{2}t={\frac {1}{1+\tan ^{2}t}}}$ Sinusformeln kan visas analogt men erhålls även enkelt från det vi nyss visat med hjälp av trigonometriska ettan: ${\displaystyle \sin ^{2}t=1-\cos ^{2}t=1-{\frac {1}{1+\tan ^{2}t}}={\frac {1+\tan ^{2}t-1}{1+\tan ^{2}t}}={\frac {\tan ^{2}t}{1+\tan ^{2}t}}}$.

Se även

• Lista över trigonometriska identiteter