Talföljd

En talföljd (följd, progression) är en ändlig eller oändlig följd av tal, vanligen betecknad med hjälp av index som ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$

Definitioner

Talen ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots \ }$ kallas talföljdens element. Talföljden kan betraktas som en funktion f från de positiva heltalen till alla tal, ${\displaystyle f(n)=a_{n}\ }$.

En talföljd kan betecknas ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ Ofta används den kortare beteckningen ${\displaystyle (a_{n})\ }$.

Notera att talen i följden inte behöver ha olika värden. Ett exempel på detta är talföljden ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$vilket ger talföljden ${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1\dots }$.

Att beskriva en talföljd

Talföljden kan anges med en explicit formel, till exempel

${\displaystyle a_{n}=2^{n}\ }$.

Den kan också anges genom en rekursionsformel, där varje element uttrycks med hjälp av det föregående elementet , tillsammans med startvärdet, till exempel

${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n},\quad a_{1}=2\ }$

Typer

En talföljd kallas

• växande om ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ för alla n

och strängt växande om ${\displaystyle a_{n+1}>a_{n}}$ för alla n

• avtagande om ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$ för alla n

och strängt avtagande om ${\displaystyle a_{n+1}<a_{n}}$ för alla n

• monoton om den är antingen växande eller avtagande,
• oändlig om n kan anta hur stora värden som helst,
• begränsad upptill om det finns ett tal M sådant att ${\displaystyle a_{n}<M}$ för alla n
• begränsad nedtill om det finns ett tal m sådant att ${\displaystyle a_{n}>m}$ för alla n

Konvergens och divergens

Om talen i en oändlig talföljd närmar sig ett bestämt tal b, kallas talföljden konvergent och b kallas talföljdens gränsvärde:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=b}$

En följd som inte är konvergent kallas divergent.

Exempel:

• ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},...}$ är konvergent med gränsvärdet 0;
• ${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}=-1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...}$ är konvergent med gränsvärdet 0;
• ${\displaystyle a_{n}=|\sin \left({\frac {\pi n}{2}}\right)|=1,0,1,0,1,0,...}$ är divergent;
• ${\displaystyle a_{n}=11n=11,22,33,...}$ är divergent.

En (oändlig) decimalutveckling är en konvergent talföljd. Betrakta t.ex. det rationella talet och dess decimalutveckling ${\displaystyle 0,\!757575...}$; den senare står för den konvergenta följden ${\displaystyle {\frac {7}{10}},{\frac {75}{10^{2}}},{\frac {757}{10^{3}}},{\frac {7575}{10^{4}}},\ldots }$ vars gränsvärde är 25/33.

Vanliga talföljder

• En aritmetisk talföljd: differensen mellan två på varandra följande element är konstant.

Exempel: ${\displaystyle 5,8,11,14,...,5+(3n+2),...}$

• En geometrisk talföljd: kvoten mellan två på varandra följande element är konstant.

Exempel: ${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},\ldots ,\left({\frac {1}{2}}\right)^{n-1}}$

• Fibonacciföljden: Följden ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,\ldots }$ av Fibonaccital, där varje element är summan av de båda närmast föregående.

Se även

• Följd - där elementen inte måste vara tal
• Serie (matematik)

Externa länkar

• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Maintained by N. J. A. Sloane