Helmholtz sats

Helmholtz sats är grundläggande inom vektoranalysen^[1][2].^{[3][4][5][6][7][8][9]} Satsen fastslår att varje tillräckligt slätt, snabbt föränderligt vektorfält i tre dimensioner, kan skrivas som en summa av ett virvelfritt vektorfält och ett solenoidalt (källfritt) vektorfält, vilket också är känt som Helmholtzuppdelningen efter Hermann von Helmholtz. ^[10]

På grund av att det virvelfria vektorfältet har en skalärpotential och ett solenoidalt fält har en vektorpotential, innebär Helmholtzuppdelningen att ett vektorfält kan uppdelas i en summa av formen

${\displaystyle -\operatorname {grad} \Phi +\operatorname {curl} \mathbf {A} }$

där Φ är ett skalärt fält, kallat skalärpotential och A är ett vektorfält kallat vektorpotential.

Formell beskrivning

Låt F vara ett vektorfält över ett slutet område V ⊆ R³, vilket är dubbelt kontinuerligt differentierbart och låt S vara ytan som omsluter området V. Då kan F delas upp i en virvelfri komponent och en källfri komponent:^[11]

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla {\boldsymbol {\Phi }}+\nabla \times \mathbf {A} ,}$

där

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$

och ${\displaystyle {\nabla '}}$ är gradienten med avseende på ${\displaystyle \mathbf {r'} }$.

Om V = R³ och därför är obegränsad och F avtar snabbare än ${\displaystyle 1/r}$ då r → ∞, då är den andra komponenten av både skalärpotentialen och vektorpotentialen noll. Det vill säga, ^[12]

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\text{hela rummet}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\text{hela rummet}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$

Referenser

1. On Helmholtz's Theorem in Finite Regions. Av Jean Bladel. Midwestern Universities Research Association, 1958.
2. Hermann von Helmholtz. Clarendon Press, 1906. Av Leo Koenigsberger. p357
3. An Elementary Course in the Integral Calculus. Av Daniel Alexander Murray. American Book Company, 1898. sid. 8.
4. J. W. Gibbs & Edwin Bidwell Wilson (1901) Vector Analysis, sid. 237, länk från Internet Archive
5. Electromagnetic theory, Volume 1. Av Oliver Heaviside. "The Electrician" printing and publishing company, limited, 1893.
6. Elements of the differential calculus. Av Wesley Stoker Barker Woolhouse. Weale, 1854.
7. An Elementary Treatise on the Integral Calculus: Founded on the Method of Rates Or Fluxions. Av William Woolsey Johnson. John Wiley & Sons, 1881.
   Se även: fluxionsmetoden.
8. Vector Calculus: With Applications to Physics. Av James Byrnie Shaw. D. Van Nostrand, 1922. p205.
   Se även: Greens sats.
9. A Treatise on the Integral Calculus, Volume 2. Av Joseph Edwards. Chelsea Publishing Company, 1922.
10. Se:

    • H. Helmholtz (1858) "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen" (Om integraler av hydrodynamiska ekvationer som motsvarar virvelrörelser), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 55: 25-55. På sidan 38 uttrycks vätskans hastighetskomponenter (u, v, v) som gradienten hos en skalärpotential P och dess rotation som en vektorpotential (L, M, N).
    • Helmholtz föregicks dock av George Stokes 1849 i artikeln "On the dynamical theory of diffraction,", Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 9, del I, sid. 1-62; se sidorna 9-10. (publicerad 1856).
11. ”Helmholtz' Theorem”. University of Vermont. Arkiverad från originalet den 13 augusti 2012. https://web.archive.org/web/20120813005804/http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_%28Helmholtz%27%20Theorem%29.pdf. Läst 22 december 2021.
12. David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1999, sid. 556.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Helmholtz decomposition, tidigare version.