Helmholtz sats

Helmholtz sats är grundläggande inom vektoranalysen^[1][2].^{[3][4][5][6][7][8][9]} Satsen fastslår att varje tillräckligt slätt, snabbt föränderligt vektorfält i tre dimensioner, kan skrivas som en summa av ett virvelfritt vektorfält och ett solenoidalt (källfritt) vektorfält, vilket också är känt som Helmholtzuppdelningen efter Hermann von Helmholtz. ^[10]

På grund av att det virvelfria vektorfältet har en skalärpotential och ett solenoidalt fält har en vektorpotential, innebär Helmholtzuppdelningen att ett vektorfält kan uppdelas i en summa av formen

${\displaystyle -\operatorname {grad} \Phi +\operatorname {curl} \mathbf {A} }$

där Φ är ett skalärt fält, kallat skalärpotential och A är ett vektorfält kallat vektorpotential.

Formell beskrivning

Låt F vara ett vektorfält över ett slutet område V ⊆ R³, vilket är dubbelt kontinuerligt differentierbart och låt S vara ytan som omsluter området V. Då kan F delas upp i en virvelfri komponent och en källfri komponent:^[11]

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla {\boldsymbol {\Phi }}+\nabla \times \mathbf {A} ,}$

där

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$

och ${\displaystyle {\nabla '}}$ är gradienten med avseende på ${\displaystyle \mathbf {r'} }$.

Om V = R³ och därför är obegränsad och F avtar snabbare än ${\displaystyle 1/r}$ då r → ∞, då är den andra komponenten av både skalärpotentialen och vektorpotentialen noll. Det vill säga, ^[12]

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\text{hela rummet}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\text{hela rummet}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$