Gelfonds konstant

Ej att förväxla med Gelfond–Schneiders konstant.

Inom matematiken är Gelfonds konstant den matematiska konstanten e^π, det vill säga e upphöjt till π. Konstanten är uppkallad efter den ryske matematikern Alexander Gelfond. Talet är transcendent, precis som e och π för sig, vilket följer av att

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi }\;=\;(-1)^{-i}}$

Eftersom −i är algebraiskt men inte rationellt är e^π enligt Gelfonds sats transcendent. Konstanten omnämns i Hilberts sjunde problem.

Talet har decimalbråksutvecklingen (talföljd A039661 i OEIS)

23,1406926327792690057290863...

och kedjebråksutvecklingen (talföljd A058287 i OEIS)

[23, 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 23, ...].

Om man definierar

${\displaystyle k_{0}\,=\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$

och

${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$

för n > 0, då konvergerar sekvensen

${\displaystyle (4/k_{n+1})^{2^{-n}}}$

snabbt mot e^π.

Se även

• Gelfond-Schneiders konstant
• Eulers identitet