Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden är en matematisk sats, som ofta kan användas då man vill undersöka om en ekvation,
, går att lösa. Det enda kravet på funktionen
är att den skall vara kontinuerlig.
Låt
vara en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall
. Antag att funktionsvärdena
och
är olika. Om
är ett tal som ligger mellan talen
och
, så finns det ett motsvarande tal,
, som ligger mellan talen
och
med egenskapen att
.
Vi är intresserade av att lösa ekvationen
, där
är en kontinuerlig icke-linjär funktion, exempelvis tredjegradspolynomet
![{\displaystyle f(x)=x^{3}-15\,x-4.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6754e44c82518e89c02a9b3e0c7f6933cd1e99c0)
Vi ser att funktionsvärdena
och
är olika och att talet 0 (noll) ligger mellan dem.
Bolzanos sats säger att det finns minst ett tal
, som ligger mellan talen 3 och 5, som är sådant att
. Det existerar därför en lösning till ekvationen
och denna lösning är ett element i det slutna och begränsade intervallet [3,5].
Man kan lokalisera lösningen genom att halvera intervallet [3,5] och undersöka hur funktionsvärdet,
, i intervallets mittpunkt förhåller sig till värdena
och
: Om
, så ligger lösningen till ekvationen någonstans i intervallet [3,4]. Om
, så ligger lösningen någonstans i intervallet [4,5]; I detta fall råkar det vara så att
, vilket visar att
är en lösning till tredjegrads-ekvationen
![{\displaystyle x^{3}-15\,x-4=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b8c1e8910d315ea826b614982f3e0b8c40a99a)
- Denna metod att lokalisera lösningar till ekvationer kallas Intervallhalverings-metoden.
Bevis av Bolzanos sats
Vi antar att funktionsvärdet
är mindre än
och väljer ut ett godtyckligt tal,
, som ligger mellan dessa värden:
![{\displaystyle \,f(a)<c<f(b)\,.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf929d5f19c5673f3fe4fa789993c479929b68e)
Associerat med detta tal bildar vi mängden
![{\displaystyle M_{c}=\{x\in [a,b]:f(x)<c\}.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef52ef0848d665a44afad3f634329d45d34a8a3)
(Mängden
är icke-tom, eftersom det innehåller talet
:
)
Talet
är en övre begränsning till mängden
– Det kan finnas flera övre begränsningar. Vi betecknar med symbolen
den minsta av alla möjliga övre begränsningar, det vill säga supremum över mängden
:
![{\displaystyle x_{c}=\sup M_{c}.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860f5e7932582491ce0862c6e29eabdc90671fee)
(Supremum existerar eftersom paret
är en välordnad mängd.)
Vi skall visa att talet
har den önskade egenskapen att
, genom att utesluta de två övriga möjligheterna
och ![{\displaystyle f(x_{c})>c.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6b54a0847a3e67c680a84191982b54ad42baf2)
Om funktionsvärdet
så är
också, om talet
ligger tillräckligt nära talet
. Anledningen till detta är att funktionen
är kontinuerlig i punkten
.
- Kontinuiteten hos funktionen
i punkten
innebär att talet
ligger nära talet
:
![{\displaystyle f(x_{c})-\varepsilon <f(z)<f(x_{c})+\varepsilon ,\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee4158d48be1f071de6dd9903cec7d8f932d1bb)
- om talet
ligger tillräckligt nära talet
,
![{\displaystyle x_{c}-\delta (x_{c},\varepsilon )<z<x_{c}+\delta (x_{c},\varepsilon ).\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32780240176645ec8490ab2dd01f4b07eedc36f)
- Vi har tillåtelse att välja det positiva talet
som vi vill. Om vi väljer det positiva talet
, så ser vi att ![{\displaystyle 2\,f(x_{c})-c<f(z)<c.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7042221e3aa3eca285dec882e08140b8f3072ba4)
Det går att välja talet
så litet att det öppna intervallet
helt ligger innanför det slutna intervallet
.
Det finns alltså tal
i mängden
med egenskapen att
. Eftersom
ligger i mängden
, måste
vara mindre än varje övre begränsning av
, speciellt måste
vara mindre än den minsta övre begränsningen av
: Talet
Detta innebär att vi har fått en motsägelse:
- Talen
besitter de två motstridiga egenskaperna att
och ![{\displaystyle z>x_{c}\,.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69789c1de2c2a9c1b7f7a9dc20b2c592ea8e55c9)
Vi måste därför dra slutsatsen att det inte finns sådana tal. Men vi kunde hävda att sådana tal fanns, genom att vi utgick från att funktionsvärdet
Därför har vi lyckats visa att olikheten
inte gäller.
På liknande sätt som i fallet då
, visar man att olikheten
inte gäller heller. Den enda möjligheten som återstår är att
vilket var vad vi ville bevisa.
Eftersom talet
var godtyckligt valt, har vi härmed bevisat Bolzanos sats.