Paritet (permutationer)
From Wikipedia, the free encyclopedia
Inom matematiken, när X är en ändlig mängd med minst två element, delas permutationerna av X (det vill säga de bijektiva funktionerna från X till X) i två klasser av lika storlek: de jämna permutationerna och de udda permutationerna. Om en linjär ordning av X föreligger så kan pariteten för en permutation σX definieras som antalet inversioner för σ, det vill säga antalet par av element x, y i X sådana att och
.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Symmetric_group_4%3B_permutation_list.svg/250px-Symmetric_group_4%3B_permutation_list.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Loupe_light.svg/15px-Loupe_light.svg.png)
Udda permutationer har en grön eller orange bakgrund. Talen i höger kolumn är Inversionstalen (talföljd A034968 i OEIS) som har samma paritet som permutationen.
Tecknet eller signaturen för en permutation σ betecknas sgn(σ) och definieras som +1 om σ är jämnt och som -1 om σ är udda. Signaturen bestämmer den alternerande karaktären för den symmetriska gruppen Sn. En annan notation för permutationens tecken ges av den mera allmänna Levi-Civita-tensorn (), som definieras för alla avbildningar från X till X, och har värdet noll för icke -bijektiva avbildningar.
En permutations tecken kan explicit uttryckas som
- sgn(σ) = (−1)N(σ)
där inversionstalet N(σ) är antalet inversioner i σ.
En permutations σ tecken kan också definieras som den sammansatta produkten av transpositioner som
- sgn(σ) = (−1)m
där m är antalet transpositioner i sammansättningen. Fastän en sådan sammansättning inte är unik är pariteten för antalet transpositioner alltid densamma, vilket medför att en permutations tecken är väldefinierat.[1]