Symmetrisk grupp
From Wikipedia, the free encyclopedia
Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M, d. v. s. bijektiva avbildningar från M till sig själv, med funktionssammansättning som gruppoperator.
De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalitet är isomorfa. Man talar därför om den symmetriska gruppen på n element, och betecknar denna med Sn. Sn har n! element. Endast för n ≤ 2 är Sn abelsk.
För alla n ≥ 3, n ≠ 4 har Sn endast en icke-trivial normal delgrupp, den alternerande gruppen An, bestående av de jämna permutationerna. Gruppen S4 har dessutom den normala delgruppen Kleins fyragrupp.
Cayleys sats säger att varje grupp G är isomorf med en delgrupp till Sym(G) genom avbildningen
.
Symmetriska grupperna är viktiga i flera matematiska områden, såsom Galoisteori, invariantteori, representationsteorin av Liegrupper och kombinatorik.