Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp är isomorf med någon permutationsgrupp.[1] En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.
Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppen på , betecknad , som är isomorf med .
Tag ett och definiera en avbildning som för alla . Bilda , som är en delmängd till . är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:
dvs, . Det neutrala elementet ligger i eftersom . Inversen till ges av . Detta ger att är en grupp, specifikt en delgrupp till .
Gruppen är i själva verket isomorf med , ty definierad som är en isomorfi:
De tre egenskaperna ovan ger att är en isomorfi. Alltså är gruppen isomorf med permutationsgruppen , vilket bevisar Cayleys sats.
Cayleys sats kan generaliseras. Om är en delgrupp till med index så finns en homomorfi där är den symmetriska gruppen med element sådan att :s kärna är en delgrupp till . Med fås den ursprungliga satsen.
Låt vara ett element i och låt vara mängden av vänstersidoklasser till i . Definiera en funktion genom
för alla . Funktionen är då en permutation av och avbildningen definierad genom
är en homomorfi, då det gäller att
Gruppen är isomorf med , då vi från förutsättningarna vet att har element. Alltså är avbildningen en homomorfi.
Låt nu specifikt vara ett element i kärnan till . Då är för alla , och speciellt är vilket ger att . Alltså gäller att :s kärna är en delgrupp till , vilket skulle visas.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.