Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Satslogiken är ett formellt logiskt system med väldefinierad syntax, avsett att symboliskt hantera språkliga satser, vilka uttrycker påståenden, och från dessa med giltiga slutledningar, dra slutsatser.
Logik, Formellt system |
---|
Logiska system |
|
![]() |
---|
Satslogiska slutledningsregler |
Predikatlogiska slutledningsregler |
|
Andra slutledningsregler |
Att det satslogiska systemet är formellt, innebär att dess teori, regler och definitioner inte hänvisar till symbolernas eller de språkliga uttryckens betydelser, utan endast till relationer mellan de symboler av vilka de språkliga uttrycken är uppbyggda. Satslogikens logiska syntax innehåller en systematisk framställning av giltiga slutledningsregler. Till grundläggarna av den formella logiken, särskilt satslogiken, räknas George Boole, Gottlob Frege och Bertrand Russell.
I vardagsspråket används en mängd olika ord för att sammanbinda ("connect") satser. Dessa ord kallas konnektiv. I satslogiken är konnektiven väldefinierade och de fem, som företrädesvis används är:
icke, och, eller, om... så... och om och endast om. Symbolerna för dessa uttryck är respektive och .
Påståenden i form av atomära satser eller elementarsatser, betecknas med en bokstav. Den implikation, som förekommer i satslogiken och som symboliseras med tecknet, , är en så kallad materiell implikation, vars innebörd ofta missförstås. Det förtjänar att påpekas att satsen: om p så q, och som skrivs p q, inte är en implikation i den bemärkelsen att det skulle råda något logiskt eller kausalt samband mellan p och q. Den kan heller inte tolkas så, att q kan härledas från p. Att en sats materiellt implicerar en annan, betyder i satslogiken endast att det icke är så, att den första satsen är sann och den andra falsk.
Emil L. Post visade att det satslogiska systemet PS med språket P är semantiskt fullständigt. Således är varje tautologi A, i språket P ett teorem i systemet PS, vilket symboliskt kan uttryckas enligt följande: Om så . [1][2].
Satslogiken har formaliserats till algebraisk kalkyl i den Booleska algebran.
I satslogiken är begreppet tautolog implikation fundamentalt och definieras nedan:
Ett exempel på en slutledningsregel är Modus Tollendo Tollens, vilken kan tillämpas enligt följande:
vilket betyder att av två premisser, där den ena är en materiell implikation och den andra är negationen av implikationens andra led, följer negationen av implikationens första led.
Att slutsatsen är korrekt och således grundad på en giltig slutledning, följer av att
är en tautolog implikation. Man säger att slutsatsen är en satslogisk eller syntaktisk konsekvens av premisserna. Formellt skriver man:
Det finns satskonnektiv i det naturliga språket, som inte representerar sanningsfunktioner. De har därför inte någon motsvarighet i det satslogiska språket. Man har visat att de ovan införda fem konnektiven kan ersättas med endast ett par av dessa. Med exempelvis konnektiven och eller och → kan man binda ihop alla de satser, som kan konstrueras med de fem konnektiven. Exempelvis kan satsen p → q skrivas .
Satslogikens formella språk brukar betecknas med bokstaven P. I det fall då man strikt bygger upp det satslogiska systemet med ett antal axiom och minst en slutledningsregel, refererar man till detta med beteckningen PS. I detta system är en formel A logiskt giltig om den kan bevisas med hjälp av axiomen, tidigare bevisade teorem och givna slutledningssregler i systemet och kallas då för ett teorem. Ett bevis i PS är också en härledning i PS, men det omvända gäller inte.
Definition. En formel A är en syntaktisk konsekvens i PS av en mängd formler G i språket P, om och endast om det finns en härledning i PS av A från G, vilket skrivs . Om formlerna i G inte är teorem så är härledningen således inte ett bevis.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.