Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Inom matematiken sägs en följd av funktioner konvergera likformigt mot en funktion på en mängd om följande villkor uppfylls:
Detta skall jämföras med villkoret att följden endast konvergerar (punktvis konvergens), som lyder enligt följande:
Likformig konvergens är ett viktigt begrepp i analysens grunder, eftersom det används för att sluta sig till egenskaper hos en funktion som är gränsvärdet av en följd utifrån egenskaper hos funktionerna . Till exempel gäller att en om en följd av kontinuerliga funktioner konvergerar likformigt mot en funktion, är även denna funktion kontinuerlig. I exempel 3 ovan är varje kontinuerlig medan gränsfunktionen, , är diskontinuerlig varför funktionsföljden inte kan konvergera likformigt.
Att en funktionsföljd konvergerar punktvis mot en funktion är ett krav för likformig konvergens. Den likformiga gränsfunktionen är då nödvändigtvis . Med supremumnormen kan vi säga att en funktionsföljd konvergerar om och endast om:
vilket är ekvivalent med definitionen ovan, men oftast enklare att räkna med. Processen blir då att först bestämma den punktvisa gränsfunktionen och sedan kontrollera gränsvärdet:
som ska vara om vi har likformig konvergensen.
Ett annat bra sätt att ta reda på om en funktionsserie konvergerar är med Weierstrass majorantsats.
Om vi har en funktionsföljd som konvergerar likformigt på intervallet [a,b] så gäller det att:
Detta är långt ifrån självklart och därför en viktig motivering till begreppet likformighet
Låt oss teckna . Vidare ger oss kravet på likformighet att:
Vi undersöker vårt påstådda gränsvärde:
Vilket bekräftar vår tes
Vi kan även betrakta en funktionsserie där och som konvergerar likformigt då där är konvergensområdet. Med denna notation fås att:
Vilket skulle visas.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.