Fisher föreslog denna ekvation för att beskriva den rumsliga spridningen av en fördelaktig allel och utforskade sina resande våglösningar.[1] För varje våghastighet c≥2 medges resande våglösningar på formen
där ökar och
Det vill säga, lösningen växlar från jämviktstillståndet u=0 till jämviktstillståndet u=1. Någon sådan lösning finns för c<2.[2][3][4] Vågformen för en given våghastighet är unik.
För den speciella våghastigheten , kan alla lösningar finnas i en sluten form, med[5]
där är godtycklig, och ovannämnda gränsvillkoren uppfylls för .
Den är det enklaste exemplet på ett semilinjärt reaktion–spridningssystem
Fisher, R. A., The genetical theory of natural selection. Oxford University Press, 1930. Oxford University Press, USA, New Ed edition, 2000, ISBN 978-0-19-850440-5, variorum edition, 1999, ISBN 0-19-850440-3
A. Kolmogorov, I. Petrovskii, and N. Piscounov. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. In V. M. Tikhomirov, editor, Selected Works of A. N. Kolmogorov I, pages 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1. Translated by V. M. Volosov from Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937
Peter Grindrod. The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, second edition, 1996 ISBN 0-19-859676-6; ISBN 0-19-859692-8.
Ablowitz, Mark J. and Zeppetella, Anthony,
Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed, Bulletin of Mathematical Biology 41 (1979) 835–840