Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Felfunktionen, erf, (också kallad Gauss felfunktion) är inom matematiken en specialfunktion (den är inte elementär) som förekommer inom sannolikhetslära, statistik och tillämpade partiella differentialekvationer. Den definieras som[1][2]
Inom statistiken har felfunktionen för icke-negativa tal tolkningen: för en stokastisk variabel Y som är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1/2, beskriver erf(x) sannolikheten för Y inom intervallet [−x, x].
Egenskapen innebär att felfunktionen är en udda funktion. För varje komplext tal z är
där är det komplexa konjugatet av z.
Integranden ƒ = exp(−z2) och ƒ = erf(z) visas i det komplexa z-plane i figurerna 2 and 3. Beloppet av Im(ƒ) = 0 visas med en tjock grön linje. Negativa heltalsvärden hos Im(ƒ) visas med tjocka röda linjer. Positiva heltalsvärden av Im(f) visas med tjocka blå linjer. Mellanliggande värden Im(ƒ) = konstant visas med tunna gröna linjer. Mellanliggande värden av Re(ƒ) = konstant visas med tunna röda linjer för negativa värden och med tunna blå linjer för positiva värden.
Felfunktionen är exakt 1 vid +∞. Längs den reella axeln närmar sig erf(z) 1 när z → +∞ och −1 när z → −∞. Längs den imaginära axeln, närmar sig funktionen ±i∞.
Felfunktionen är en hel funktion; den har inga singulariteter (med undantag för den vid oändligheten) och dess Taylorutveckling konvergerar alltid.
Den definierande integralen kan inte beräknas i sluten form med elementära funktioner, men genom expansion av e−z2 i dess Maclaurinserie och integration term för term erhålls felfunktionens Maclaurinserie som
vilken gäller för varje komplext tal z.
Den imaginära felfunktionen har en liknande Maclaurinserie:
vilken gäller för varje komplext tal z.
Felfunktionens derivata följer direkt från dess definition:
En primitiv funktion till felfunktionen, erhålls genom partialintegration och är
En primitiv funktion till den komplexa felfunktionen, erhålls också genom partialintegration och är
Högre derivator ges av
där är ett Hermitepolynom.[3]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.