Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Båglängd är längden av en kroklinje, båge, mellan två givna punkter.[1]
För att bestämma båglängden en hos en (icke-linjär) kurva delar man upp kurvan i olika segment med hjälp av räta linjer. Då det är lättare att beräkna längden hos en rät linje (Pythagoras sats) än en icke-rät linje. Den allra enklaste uppdelningen som går att göra är att sätta in en rät linje mellan kurvans ändpunkter och och sedan med hjälp av Pythagoras beräkna linjens längd. Då fås en ganska grov uppskattning av kurvans längd, problemet här är att vi inte kollat på hur kurvan ser ut mellan dessa punkter. Kurvan skulle till exempel kunna sticka iväg en bra bit uppåt i positiv y-riktning för att sedan vid ändpunkten vara nere på negativt y-värde.
För att kunna få med detta i beräkningen av längden delas istället kurvan upp i väldigt många korta räta linjer. Där varje rät linje har sin startpunkt och sin ändpunkt på kurvan så att de går utmed ursprungliga kurvan. Om då avståndet mellan startpunkten och ändpunkten på de små räta linjerna görs väldigt litet, fås något som liknar den ursprungliga kurvan fast med räta linjer. För att sedan få fram längden av denna nya kurva med räta linjer beräknas bara längden av alla små kurvsegment och summerar dessa.
Om nu kurvan där längden ska beräknas är linjär innebär det att den redan är en rät linje. Om det skulle göras likadant på denna som på en icke-linjär kurva skulle det inte hjälpa speciellt mycket, då uppskattningen skulle bli likadan som kurvan själv – vilket betyder att det är mycket lättare att räkna ut båglängden hos en linjär kurva.
Betrakta kurvan , om vi vill uppskatta längden av den på ett givet intervall kommer vi att behöva dela upp kurvan i små segment . Där varje segment fås av
Om vi då kollar i bild 2 är det ganska lätt att föreställa sig att om och är väldigt små kommer att ligga väldigt nära den ursprungliga kurvan. Detta skulle i sådant fall bara ett av dessa segment, för att få en bra uppskattning krävs det ett godtyckligt antal av dessa segment (beror lite på hur kurvan ser ut). Man borde alltså kunna uppskatta hela kurvans längd med
Om vi kollar på en kurva som ges av funktionen
Där f är en kontinuerlig funktion på det givna intervallet . Om vi studerar bild 2 och tänker oss att vi vill göra den indelningen på hela kurvan , vi vill alltså dela in intervallet i mindre delintervall med så kallade delningspunkter
och motsvarande punker , på kurvan.
Om vi då studerar två punkter och på kurvan för . Då kan man observera att längden av kurvan mellan dessa två punkter måste vara minst lika stor som längden mellan och som fås genom pythagoras sats, d.v.s.
Alltså måste hela kurvan ha en längd som är minst lika stor som summan av längden av alla dessa små delintervall,
Utöver detta bör även längden av hur nära den riktiga längden som helst med sådana summor uppskattas, om indelningarna av är tillräckligt små.
Definitionen av längden av en båglängd är[2]:
Där är mängden av alla summor som kan bildas med delsningspunkter .
Här existerar som ett reellt tal enligt supremumaxiomet, ifall mängden är begränsad uppåt. I detta fall säger man också att kurvan är rektifierbar. Om inte skulle vara begränsa uppåt, tolkas definitionen så att kurvan har oändlig längd. Antag nu att även har kontinuerlig derivata på intervallet . Vi kan då visa att kurvan har ändlig längd och att den kan räknas ut med formeln
För varje val av delningspunkter gäller enligt medelvärdessatsen för derivator, att
med något tal för . Vi sätter in detta i och får
Den sista summan här är en Riemannsumma för funktionen på intervallet och enligt en sats för Riemannsummor[3] gäller att om finheten
kommer motsvarande summas värde att gå mot integralen
Om vi istället betraktar kurvan
där g och h är kontinuerliga funktioner på ett intervall . Så kan man på liknande sätt som ovan bevisa att längden av denna kurva uppskattas med hjälp av integralen
Exemplen är tagna ur Analys i en variabel, Forsling, Neymark
Beräkna längden av kurvan[4]
Vi använder oss av formeln
där . Insatt i formeln får vi då
via partialbråksuppdelning fås
Beräkna längden av kurvan[5]
Vi använder oss då av formeln
där och . Alltså är och , om vi då sätter in detta formeln fås följande
Under större delen av den matematiska historien ansåg man, även de främsta matematikerna att det var omöjlig att beräkna längden av en icke-rät linje. Trots att Arkimedes hade tagit fram ett sätt för att få fram arean under en kurva med exhaustionsmetoden, trodde väldigt få att det var möjligt för icke-räta kurvor att ha definierbara längder. Det var för när man använde sig av uppskattning som man började göra framsteg inom detta område. Det man gjorde var att man började rita in polygoner under kurvorna och beräknade längderna på dessa. Ju mindre man gjorde dessa polygoner och ju mer man ritade in desto bättre uppskattning av längden fick man. Till exempel lyckades Arkimedes uppskatta till genom att rita in en polygon med många sidor i en cirkel.
Innan den formella utvecklingen av matematiska analysen hade Pierre de Fermat och Hendrik van Heuraet under 1600-talet tagit fram basen för den moderna integralform som vi idag känner till. Det började med att Hendrik van Heuraet år 1659 publicerade ett bevis där han visade att problemet med att bestämma båglängden hos en kurva kunde överföras till att beräkna arean under kurvan. Som exempel hade han bestämt båglängden hos en parabel genom att först beräkna arean under kurvan.[6]År 1660 publicerade Fermat en mer generell teori angående detta, även han hade kommit fram till samma resultat. [7]
Fermats metod för att bestämma båglängden byggde på hans tidigare verk angående tangenter, där han använde sig av kurvan
Vars tangent i punkten har lutningen
Alltså har tangentlinjen i punkten ekvationen
Sedan ökade han med ett litet tal , vilket medför att segmentet AC (bild 3) blir en relativt bra uppskattning av kurvans längd från A till D. För att då finna längden av segmentet AC använde han sig av Pythagoras sats
När man då tar kvadratroten ur detta får man
För att då uppskatta kurvans båglängd adderade Fermat flera korta segment och på så sätt fick han en relativt bra uppskattning av längden.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.