En mätbar funktion är inom matematiken en speciell sorts funktion mellan mätbara rum som bevarar mätbarheten.
Formell definition
Låt och vara mätbara rum.
En funktion är mätbar om
för alla .
Man kan också säga att en funktion är -mätbar eller -mätbar.
Notera att man inte behöver ha något mått definierat på rummen för att avgöra om en funktion är mätbar.
Lebesguemätbar funktion
Om kan man också säga att en mätbar funktion är Lebesguemätbar.
Borelfunktion
Låt
Om X är ett topologiskt rum, och så kallas en mätbar funktion
för Borelfunktion.
Eftersom Borelmängder är genererad av öppna mängder kan man bevisa att en funktion är en Borelfunktion om och endast om
- , och .
är Borelmängder för alla öppna mängder
Alternativt, en funktion är en Borelfunktion om och endast om
är Borelmängder för alla .
Exempel
Alla kontinuerliga funktioner i är Lebesguemätbara och Borelfunktioner.
Se även
Den här artikeln ingår i boken: Måtteori |
Källor
- G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.