From Wikipedia, the free encyclopedia
Лапласова трансформација (названа по Пјер-Симон Лапласу) је интегрална трансформација, која дату каузалну функцију f(t) (оригинал) пресликава из временског домена (t = време) у функцију F(s) у комплексном спектралном домену.[1] Лапласова трансформација, иако је добила име у његову част, јер је ову трансформацију користио у свом раду о теорији вероватноће, трансформацију је заправо открио Леонард Ојлер, швајцарски математичар из осамнаестог века.
Функција t->f(t) назива се оригиналом ако испуњава следеће услове:
Функција F(s) је »слика« или лапласова трансформација »оригинала« f(t).
За случај да је добија се једнострана Фуријеова трансформација:
Ова особина је позната као Борелова теорема. Напомена: дефиниција конволуције је:
Одакле следи:
Једнострана Лапласова трансформација има смисла само за не-негативне вредности , стога су све временске функције у табели поможене са Хевисајдовом функцијом.
ID | Функција | Временски домен | Лапласов -домен (фреквентни домен) | Област конвергенције за каузалне системе | ||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | идеално кашњење | |||||
1a | јединични импулс | |||||
2 | закашњени -ти степен са фреквенцијским померањем | |||||
2a | -ти степен (за цео број ) | |||||
2a.1 | -ти степен (за реално ) | |||||
2a.2 | Хевисајдова функција | |||||
2b | закашњена Хевисајдова функција | |||||
2c | рампа функција | |||||
2d | фреквенцијско померање -тог реда | |||||
2d.1 | експоненцијално опадање | |||||
3 | експоненцијално приближавање | |||||
4 | синус | |||||
5 | косинус | |||||
6 | синус хиперболикус | |||||
7 | косинус хиперболикус | |||||
8 | експоненцијално опадајући синус | |||||
9 | експоненцијално опадајући косинус | |||||
10 | -ти корен | |||||
11 | природни логаритам | |||||
12 | Беселова функција прве врсте, реда | | ||||
13 | модификована Беселова функција прве врсте, реда | |||||
14 | Беселова функција друге врсте, нултог реда | |||||
15 | модификована Беселова функција друге врсте, нултог реда | |||||
16 | функција грешке | |||||
Објашњења:
|
У општем случају, оригинал f(t) дате слике F(s) добија се решавањем Бромвичовог интеграла:
где је реални део било ког сингуларитета функције .
С обзиром да се овде интеграли комплексна променљива, потребно је користити методе комплексне математичке анализе. Многи примери инверзне Лапласове трансформације наведени су у табели изнад. У пракси, функције се трансформишу у примере из таблице, на пример разлагањем на просте факторе.
За функцију целобројне променљиве њена дискретна Лапласова трансформација се дефинише као:
Конвергенција овог реда зависи од .
Све особине и теореме регуларне Лапласове трансформације имају своје еквиваленте у дискретној Лапласовој трансформацији.
У математици Лапласова трансформација се користи за анализирање линеарних, временски непроменљивих система, као: електричних кола, хармонијских осцилатора, оптичких уређаја и механичких система. Има примене у решавању диференцијалних једначина и теорији вероватноће.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.