Коначно поље
From Wikipedia, the free encyclopedia
У математици, коначно поље или GF (тако назван у част француског математичара Евариста Галоа)- је поље које садржи коначан број елемената. Као и у било ком пољу, коначно поље је скуп, у ком су операције множења, сабирања, одузимања и дељења утврђена и задовољавају одређена основна правила. Најчешћи примери коначних поља су у целим бројевима по модулу p када p је прост број.
Број елемената коначног поља се зове га ред. Коначно поље реда q постоји, ако и само ако је ред q - степен простог броја p^k (где p је прост број, а k - позитиван цео број). Сва поља овог реда су изоморфна. У пољу реда p^k, додавањем p примерака било ког елемента увек резултује нулом; p је карактеристика поља.
Код коначног поља реда q, полином X^q − X поседује q елементе коначног поља као корене. Ненулти елементи коначног поља граде мултипликативну групу. Ова група је циклична, тако да се сви ненулти елементи могу приказати као степени једног елемента званог примитивни елемент поља ( уопштено постоји неколико примитивних елемената задатог поља).
Поље садржи, по дефиницији, комутативну операцију множења. Општа алгебарска структура, која задовољава све остале аксиоме поља, али чија операција множења не мора да буде комутативна се зове прстен дељења (у енглеској литератури skew field). Према Ведербурновој теореми, сваки коначан прстен дељења треба да буде комутативан и, самим тим, коначно поље. Овај показује да ограничење коначности може имати алгебарске последице.
Коначна поља су фундаментална у неколико области математике и информатике, укључујући теорију бројева, алгебарски геометрије, Галоа теорије, геометрије коначних тела, криптографија и теорије кодирања.