Брза Фуријеова трансформација (енгл. ; често се означава као ) је алгоритам за „брзо“ израчунавање вредности дискретне Фуријеове трансформације. Убрзање у односу на уобичајен поступак израчунавања дискретне Фуријеове трансформације постиже се избегавањем поновног израчунавања израза који се међусобно негирају. Алгоритам се приписује Џејмсу В. Кулију () и Џону В. Тукију () који су га објавили 1965. године. Међутим, Карл Фридрих Гаус га је развио већ 1805. да би израчунао путању астероида Палас и Јуно. Притом су многе верзије развијене и пре Кулијеве и Тукијеве варијанте. После су се појавила многа побољшања и варијације.
За брзу Фуријеову трансформацију постоји и алгоритам у супротном смеру - инверзна брза Фуријеова трансформација.
Кули-Туки алгоритам се базира на идеји подели-па-владај (divide-and-conquer, енг.). Предуслов за његово извршавање је да број тачака (тачке измерене за неки сигнал, на пример) на којима се врши трансформација буде степен двојке. Како често можемо сами да изаберемо колико тачака хоћемо да узмемо, ово и не представља велику препреку.
ДФТ израчунавамо тако што наше тачке (вектор) прво поделимо на два вектора, један који одговара компонентама изворног вектора са парним индексима, а други са непарним. Онда израчунамо ДФТ оба вектора и спојимо резултате. Притом користимо особине јединичног корена Фуријеове матрице. После понављамо рекурзивно поступак. Тиме можемо да ДФТ на крају израчунамо према сложености у времену.
Присетимо се дефиниције дискретне Фуријеове трансформације:
- за
где је вектор који желимо да трансформишемо, а тај вектор Фурије трансформисан.
Дефинишимо .
Потом дефинишемо вектор са парним индексима:
и означимо његову ДФТ као:
те вектор са непарним индексима:
и његову ДФТ:
Следи спајање:
Напомена: , али се ради лакшег разумевања наводи различито!
Често смо у пракси заинтересовани за конкретне фреквенције. Уводимо нотацију:
- , је негде у близини , а периода нашег мерења.
Онда је брза фуријеова трансформација за одређену фреквенцију:
- Brenner, N.; C. Rader (1976). „A New Principle for Fast Fourier Transformation”. IEEE Acoustics, Speech & Signal Processing. 24 (3): 264—266. doi:10.1109/TASSP.1976.1162805.
- Cooley James W.; Tukey, John W. (1965). „An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series”. Math. Comput. 19 (90): 297—301. doi:10.1090/S0025-5718-1965-0178586-1.
- Duhamel, Pierre (1990). „Algorithms meeting the lower bounds on the multiplicative complexity of length- DFTs and their connection with practical algorithms”. IEEE Trans. Acoust. Speech. Sig. Proc. 38 (9): 1504—151. doi:10.1109/29.60070.
- Duhamel, P.; Vetterli, M. (1990). „Fast Fourier transforms: a tutorial review and a state of the art”. Signal Processing. 19 (4): 259—299. doi:10.1016/0165-1684(90)90158-U.
- Edelman, Alan; McCorquodale, Peter; Toledo, Sivan (1998). „The Future Fast Fourier Transform?”. SIAM Journal on Scientific Computing. 20 (3): 1094—1114. doi:10.1137/S1064827597316266.
- Gentleman, W. M.; Sande, G. (1966). „Fast Fourier Transforms”. Proceedings of the November 7-10, 1966, fall joint computer conference on XX - AFIPS '66 (Fall). стр. 563. S2CID 207170956. doi:10.1145/1464291.1464352.
- Guo, Haitao; Burrus, C. Sidney (1996). Unser, Michael A.; Aldroubi, Akram; Laine, Andrew F., ур. „Fast approximate Fourier transform via wavelets transform”. Wavelet Applications in Signal and Image Processing IV. 2825: 250—259. S2CID 120514955. doi:10.1117/12.255236.
- Guo, H.; Sitton, G.A.; Burrus, C.S. (1994). „The Quick Discrete Fourier Transform”. Proceedings of ICASSP '94. IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. стр. III/445—III/448. ISBN 0-7803-1775-0. S2CID 42639206. doi:10.1109/ICASSP.1994.389994.
- T, Heideman M.; Johnson, D. H.; C. S. Burrus (1984). „Gauss and the history of the fast Fourier transform”. IEEE ASSP Magazine. 1 (4): 14—21. S2CID 10032502. doi:10.1109/MASSP.1984.1162257.
- Heideman, Michael T.; Burrus, C. Sidney (1986). „On the number of multiplications necessary to compute a length- DFT”. IEEE Trans. Acoust. Speech. Sig. Proc. 34 (1): 91—95. doi:10.1109/TASSP.1986.1164785.
- Johnson, Steven G.; Frigo, Matteo (2007). „A Modified Split-Radix FFT with Fewer Arithmetic Operations” (PDF). IEEE Transactions on Signal Processing. 55 (1): 111—119. S2CID 14772428. doi:10.1109/TSP.2006.882087.
- Lundy, T.; Van Buskirk, J. (2007). „A new matrix approach to real FFTS and convolutions of length 2k”. Computing. 80 (1): 23—45. S2CID 27296044. doi:10.1007/s00607-007-0222-6..
- Kent, Ray D. and Read, Charles (2002). Acoustic Analysis of Speech. ISBN 978-0-7693-0112-9.. Cites Strang, G. (1994)/May–June). Wavelets. American Scientist, 82, 250-255.}-
- Morgenstern, Jacques (1973). „Note on a lower bound of the linear complexity of the fast Fourier transform”. J. ACM. 20 (2): 305—306. S2CID 2790142. doi:10.1145/321752.321761.
- M. J. Mohlenkamp (1999). „A fast transform for spherical harmonics” (PDF). J. Fourier Anal. Appl. 5 (2–3): 159—184. S2CID 119482349. doi:10.1007/BF01261607. Архивирано из оригинала (PDF) 06. 02. 2007. г. Приступљено 25. 03. 2012.
- H. J.Nussbaumer (1977). „Digital filtering using polynomial transforms”. Electronics Lett. 13 (13): 386—387. doi:10.1049/el:19770280.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007). „Chapter 12. Fast Fourier Transform”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивирано из оригинала 11. 08. 2011. г. Приступљено 25. 03. 2012.
- Rokhlin, Vladimir; Tygert, Mark (2006). „Fast algorithms for spherical harmonic expansions”. SIAM J. Sci. Computing. 27 (6): 1903—1928. doi:10.1137/050623073.
- Shentov, O. V.; S. K. Mitra; Heute, U.; Hossen, A. N. (1995). „Subband DFT. I. Definition, interpretations and extensions”. Signal Processing. 41 (3): 261—277. doi:10.1016/0165-1684(94)00103-7.
- Sorensen, H. V.; D. L. Jones; Heideman, M. T.; C. S. Burrus (1987). „Real-valued fast Fourier transform algorithms”. IEEE Trans. Acoust. Speech Sig. Processing. 35 (6): 849—863. doi:10.1109/TASSP.1987.1165220.
- Welch, Peter D. (1969). „A fixed-point fast Fourier transform error analysis”. IEEE Trans. Audio Electroacoustics. 17 (2): 151—157. doi:10.1109/TAU.1969.1162035.
- Winograd, S. (1978). „On computing the discrete Fourier transform”. Math. Computation. 32 (141): 175—199. JSTOR 2006266. S2CID 120055730. doi:10.1090/S0025-5718-1978-0468306-4.