Аркус синус је функција инверзна синусној функцији на њеном ограниченом интервалу [-π/2,π/2]. Користи се за одређивање величине угла у овом опсегу, када је позната вредност његовог синуса.
Кратке чињенице
Аркус синус |
![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Arcsin.svg/220px-Arcsin.svg.png) |
Основне особине |
Парност | непарна |
Домен | [-1,1] |
Кодомен | [-π/2,π/2] |
Специфичне вредности |
Нуле | 0 |
Специфичне особине |
Превоји | (0,0) |
Улазак у нулу под углом | π/4 |
Затвори
Следе неке од формула које се везују за аркус синус:
(правило комплементарних углова)
(непарност ф-је)
![{\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=arccosec{x}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c3dc371a77c9ccf08be9da0c5c15edc45fb983)
Преко формуле за половину угла се добија и:
![{\displaystyle \arcsin x=2arctg{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a556256c67c79f5d64138f17a7fe409ab91b674)
Извод:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45971c25419f4acd413f873f47fac96804d2ce10)
Представљање у форми интеграла:
![{\displaystyle \arcsin x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f069432bf0ee91e1d16c34754e71e3568df958a)
Представљање у форми бесконачне суме:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0702eb379a5e8d2e1418ba60a2f10b40b37ba19c)