Аркус косинус

Аркус косинус је функција инверзна косинусној функцији на интервалу [0,π] њеног домена. Користи се за одређивање величине угла у овом опсегу када је позната вредност његовог косинуса.

Аркус косинус
Основне особине
Парност	непарна
Домен	[-1,1]
Кодомен	[0,π]
Специфичне вредности
Нуле	1
Вредност у -1	π
Вредност у 0	π/2
Вредност у 1	0
Специфичне особине
Превоји	(0,π/2)
Улазак у нулу под углом	-π/4

Формуле

Следе неке од формула које се везују за аркус косинус:

${\displaystyle \arccos {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {x}}$ (правило комплементарних углова)

${\displaystyle \arccos {-x}=\pi -\arccos {x}}$

${\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},}$ ако ${\displaystyle \ 0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=arcsec{x}}$

Преко формуле за половину угла се добија и:

${\displaystyle \arccos x=2arctg{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},}$ ако ${\displaystyle -1<x\leq +1}$

Извод:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1}$

Представљање у форми интеграла:

${\displaystyle \arccos x{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1}$

Представљање у форми бесконачне суме:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

Спољашње везе

• Функција аркус косинус на

Тригонометријске и хиперболичне функције

Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Функција (x) (x) (x) (x) (x) (x) Инверзна (x) (x) (x) (x) (x) (x) Хиперболична (x) (x) (x) (x) (x) (x) Инв. хиперболична (x) (x) (x) (x) (x) (x)