Jangov modul

Jangov modul elastičnosti ili samo modul elastičnosti predstavlja mjeru krutosti materijala i jednak je odnosu vučnog naprezanja i linijske vučne deformacije, u linearnom ili elastičnom dijelu dijagrama naprezanja. Krutost materijala je važna veličina pri određivanju stabilnosti i sigurnosti neke konstrukcije. Jangov modul elastičnosti vrijedi i za kompresiona naprezanja kod većine materijala:^[1]

${\displaystyle E\equiv {\frac {\mbox{vlačno naprezanje}}{\mbox{produženje}}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}={\frac {F/A_{0}}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A_{0}\Delta L}}}$

Univerzalna kidalica se koristi za mjerenje Jangovog modula elastičnosti

Ispitivanje u tri tačke

gdje je:

— Jangov modul elastičnosti ();

— sila koja produžava šipku ili štap ();

— početni poprečni presjek šipke ili štapa u mirovanju ();

— produženje šipke ili štapa ();

— početna dužina šipke ili štapa ();

— naprezanje u šipki ili štapu (),

— odnos produženja šipke ili štapa i njene dužine (bez dimenzije ili ).

Jangov modul elastičnosti je nazvan prema britanskom naučniku Tomasu Jangu, iako je sam pojam razvio matematičar Leonard Ojler, a prvi je eksperimente izveo Italijan Đordano Rikati 1782, 25 godina prije Tomasa Janga.

Primjena

Jangov modul elastičnosti može poslužiti da se izračuna produženje ili suženje nekog materijala, koji je pod uticajem neke spoljne sile. Da bi se tačno odredila promjena obima nekog krutog materijala, pod uticajem sile, potrebno je da se poznaju i još neka svojstva materijala, kao što je modul smicanja , gustina ili Puasonov odnos .

Hukov zakon za elastične materijale je:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$

ili

${\displaystyle \Delta L={\frac {F}{EA}}L={\frac {\sigma }{E}}L}$

gdje je: — naprezanje u šipki ili štapu (/), — Jangov modul elastičnosti (), — odnos produženja šipke ili štapa i njene dužine (bez dimenzije ili ), — dužina štapa, — produženje šipke ili štapa (), — sila koja produžava šipku ili štap (), — poprečni presjek šipke ili štapa ()^[2]

Hukov zakon vrijedi (do granice razvlačenja) za čelik, a može da posluži i za bakar, aluminijum i drvo). Za neke druge materijale vrijedi potencijalni Hukov zakon, koji je utvrđen na osnovu preciznih mjerenja:^[3]

gdje je: , — za sivi liv = 1,08 za izvlačenje i = 1,04 za pritisak; za liveni cink, granit, beton vrijedi = 1,14—1,16; za kožu i užad od konoplje = 0,7.

Ukoliko je poznat Jangov modul elastičnosti za neki materijal, može se izračunati sila koja djeluje na njega, ako se izmjeri produženje ili suženje materijala:

${\displaystyle F={\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}}$

Na osnovu Hukovog zakona i Jangovog modula elastičnosti može se izračunati i konstanta opruge :

${\displaystyle F=\left({\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\right)\Delta L=kx}$

gdje je:

${\displaystyle k={\begin{matrix}{\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle x=\Delta L}$

Ili potencijalna energija opruge:

${\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Odnosi između elastičnih konstanti

Za homogene izotropne materijale postoji jednostavan odnos između elastičnih konstanti (Jangov modul elastičnosti , modul smicanja , ukupni modul elastičnosti i Puasonov odnos ):

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )}$

Vrijednosti Jangovog modula elastičnosti

Jangov modul elastičnosti se ispituje ponekad sa različitim metodima i uzorcima za ispitivanje, pa postoje male razlike u poređenju njihovih vrijednosti.

Približne vrijednosti Jangovog modula elastičnosti za različite materijale^[4]

Materijal		/2 ()
Guma (male deformacije)	0,01—0,1	1.500—15.000
(Teflon)	0,5	75.000
Polietilen male gustine	0,2	30.000
Polietilen velike gustine ()	0,8
Polipropilen	1,5-2	217.000—290.000
Proteinska ljuska virusa (kapsida)[5]	1—3	150.000—435.000
Polietilentereftalat ili Dacron	2—2,7
Polistiren	3—3,5	435.000—505.000
Najlon	2—4	290.000—580.000
Dvoatomne frustule (uglavnom silicijumova kiselina)[6]	0,35—2,77	50.000—400.000
Vlaknasti paneli srednje gustine[7]	4	580.000
Borovo drvo (uzduž vlakana)	8,963	1.300.000
Hrastovo drvo (uzduž vlakana)	11	1.600.000
Beton velike čvrstine	30	4.350.000
Vlakna konoplje[8]	35
Magnezijum metal ()	45	6.500.000
Vlakna lana[9]	58
Aluminijum	69	10.000.000
Vlakna koprive[10]	87
Staklo	50—90
Aramidna vlakna[11]	70,5—112,4
Sedef na školjkašima (uglavnom kalcijum karbonat)[12]	70	10.000.000
Zubna gleđ (uglavnom kalcijum fosfat)[13]	83	12.000.000
Mesing i bronza	100—125	17.000.000
Titanijum ()		16.000.000
Titanijumova jedinjenja	105—120	15.000 000—17.500.000
Bakar ()	117	17.000.000
Stakloplastika (70/30 težinski, uzduž vlakana)	40—45	5.800.000—6.500.000
Poliesterska stakloplastika[14]	17,2	2.500.000
Ugljenikova stakloplastika (50/50 težinski, uzduž vlakana)	125—150	18.000.000—22.000.000
Ugljenikova stakloplastika (70/30 težinski, uzduž vlakana)[15]	181	26.300.000
Silicijum[16]	130—185
Kovano gvožđe	190—210
Čelik	200	29.000.000
Polikristalni itrijum-gvozdeni granati ()[17]	193	28.000.000
Jednokristalni itrijum-gvozdeni granati ()	200	30.000.000
Berilijum ()	287	42.000.000
Molibden ()	329
Volfram ()	400—410	58.000.000—59.500.000
Safir () uzduž ose	435	63.000.000
Silicijum karbid ()	450	65.000.000
Osmijum ()	550	79.800.000
Volfram karbid ()	450—650	65.000.000—94.000.000
Jednozidne ugljenikove nanocijevi[18][19]	1000	145.000.000
Grafen	1000
Dijamant ()[20]	1220	150.000.000—175.000.000

Reference

1. „Konstrukcijski elementi I” Архивирано на сајту (28. фебруар 2017), Tehnički fakultet Rijeka, Božidar Križan i Saša Zelenika, 2011.
2. „Elementi strojeva”, , Tehnička knjiga Zagreb, 1975.
3. „Strojarski priručnik”, Bojan Kraut, Tehnička knjiga Zagreb 2009.
5. Proc Nat Acad Sci USA., 2004, Ivanovska IL, de Pablo PJ, Sgalari G, MacKintosh FC, Carrascosa JL, Schmidt CF, Wuite GJL: "Bacteriophage capsids: Tough nanoshells with complex elastic properties"
6. J Nanosci Nanotechnol., 2005.|Subhash G, Yao S, Bellinger B, Gretz MR.: "Investigation of mechanical properties of diatom frustules using nanoindentation"
7. „MDF Material Properties Data: Medium Density Fiberboard (MDF)”
8. Nabi Saheb D., Jog J. P.: "Natural fibre polymer composites: a review", Advances in Polymer Technology, 1999.
9. Bodros E.: "Analysis of the flax fibres tensile behaviour and analysis of the tensile stiffness increase", Composite Part A, 2002.
10. Bodros E., Baley C.: "Study of the tensile properties of stinging nettle fibres (Urtica dioica)", Materials Letters, 2008.
11. DuPont: "Kevlar Technical Guide", 2001.
12. Jackson, A. P.; Vincent, J. F. V.; Turner, R. M. (1988). „The mechanical design of nacre”. Proceedings of the Royal Society of London. Series B. Biological Sciences. 234 (1277): 415—440. Bibcode:1988RSPSB.234..415J. S2CID 135544277. doi:10.1098/rspb.1988.0056.
13. Journal of Materials Science, 1981, "Spherical indentation of tooth enamel" M. Staines, W. H. Robinson and J. A. A. Hood ^{[мртва веза]}
14. Polyester Matrix Composite reinforced by glass fibers (Fiberglass). SubsTech, 2008.
15. Epoxy Matrix Composite reinforced by 70% carbon fibers [SubsTech]. Substech.com, 2006.
16. Physical properties of Silicon (Si) Ioffe Institute Database, 2011.
17. Chou H. M., Case E. D.: "Characterization of some mechanical properties of polycrystalline yttrium iron garnet (YIG) by non-destructive methods", journal = Journal of Materials Science Letters, 1988.
18. Архивирано на сајту (29. октобар 2005) "Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes", L. Forro
19. Y.H.Yang, Applied Physics Letters, 2011, "Radial elasticity of single-walled carbon nanotube measured by atomic force microscopy"
20. "Synthetic Diamond — Emerging CVD Science and Technology" Spear and Dismukes, publisher=Wiley, NY, 1994.

Literatura

• ASTM E 111, "Standard Test Method for Young's Modulus, Tangent Modulus, and Chord Modulus"
• The ASM Handbook (various volumes) contains Young's Modulus for various materials and information on calculations. Online version

Spoljašnje veze