Holomorfna funkcija

Holomorfne funkcije su kompleksne funkcije definisane na otvorenom podskupu kompleksne ravni koje su diferencijabilne. Funkcija je holomorfna u nekoj tački ako u toj tački postoji izvod te funkcije i ako je različit od nule. Funkcija je holomorfna na nekoj oblasti ako je holomorfna u svakoj tački te oblasti. Postojanje kompleksnog derivata u blizini je veoma jak uslov, jer implicira da je svaka holomorfna funkcija zapravo beskrajno diferencijabilna i jednaka, lokalno, svojoj Tejlorovoj seriji (analitička). Holomorfne funkcije su centralni predmeti proučavanja u kompleksnoj analizi.

Pravougaona mreža (gore) i njegova slika pod konformalnom mapom (dole).

Iako se termin analitička funkcija često upotrebljava sinonimno sa „holomorfna funkcija”", reč „analitička” je definisana u širem smislu da označi bilo koju funkciju (realnu, kompleksnu ili opštiji tip) koja se može napisati kao konvergentna stepena serija u okolini svake tačke u njenom domenu. Činjenica da su sve holomorfne funkcije kompleksne analitičke funkcije, i obrnuto, glavna je teorema u kompleksnoj analizi.^[1]

Holomorfne funkcije se takođe ponekad nazivaju regularnim funkcijama.^[2] Holomorfna funkcija čiji je domen cela kompleksna ravan se naziva celokupnom funkcijom. Fraza „holomorfna u tački ₀” ne znači samo diferencijabilna u ₀, već je diferencijabilna svuda unutar izvesne okoline ₀ u kompleksnoj ravni.

Definicija

Funkcija ${\displaystyle f(z)={\bar {z}}}$ nije kompleksno-diferencijabilna u nuli, jer kao što je prikazano iznad, vrednost ${\displaystyle f(z)-f(0) \over z-0}$ varira u zavisnosti od pravca iz kog se pristupa nuli. Duž realne ose, je jednako funkciji i limit je 1, dok je duž imaginarne ose, jednako i limit je −1. Drugi pravci daju druge limite.

Za datu funkciju kompleksne vrednosti jedne složene promenljive, derivat od u tački u njenom domenu je definisan limesom^[3]

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.}$

To je isto što i definicija derivata za realne funkcije, osim što su svi kvantiteti kompleksni. Konkretno, granica se uzima dok se kompleksni broj približava ₀, i mora imati istu vrednost za bilo koji niz složenih vrednosti za koji prilaze ₀ na kompleksnoj ravni. Ako granica postoji, kaže se da je kompleksno-diferencijabilno u tački ₀. Ovaj koncept kompleksne diferencijabilnosti deli nekoliko svojstava sa realnom diferencibilnošću: on je linearan i pokorava se pravilu proizvoda, pravilu kvocijenta i lančanom pravilu.^[4]

Ako je funkcija kompleksno diferencijabilna u svakoj tački ₀ u jednom otvorenom setu , kaže se da je holomorfna na . Funkcija je holomorfna u tački ₀, ako je kompleksno diferencijabilna u okolini ₀.^[5] Funkcija je holomorfna na nekom zatvorenom setu ako je homomorfna na otvorenom setu koji sadrži . Kao patološki ne-primer, funkcija data sa je kompleksno diferencijabilna u tačno jednoj tački (₀ = 0), i iz tog razloga ona nije holomorfna u 0, jer ne postoji otvoreni set oko 0 na kome je kompleksno diferencijabilna.

Odnos između realne diferencijabilnosti i kompleksne diferencijabilnosti je sledeći. Ako je kompleksna funkcija {{nowrap|}} holomorfna, onda i imaju prve parcijalne derivate u odnosu na x i y, i zadovoljavaju Koši-Rimanove jednačine:^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

ili, ekvivalentno, Virtindžerov derivat od u odnosu na kompleksni konjugat od je nula:^[7]

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sr.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\overline{z}} = 0,}

drugim rečima je funkcionalno nezavisna od kompleksnog konjugata od .

Ako kontinualnost nije data, suprotno nije nužno tačno. Jednostavna suprotnost je da ako i imaju kontinualni prvi parcijalni derivat i zadovoljavaju Koši–Rimanove jednačine, onda je holomorfna. U većoj meri zadovoljavajuću suprotnost, koja se znatno teže može dokazati, daje Luman-Menčofova teorema: ako je kontinuirano, i imaju prve parcijalne derivate (mada nisu nužno kontinuirani), i oni zadovoljavaju Koši–Rimanove jednačine, onda je holomorfno.^[8]

Terminologija

Reč „holomorfan” su uvela dva Košijeva studenta, Briot (1817–1882) i Buke (1819–1895), i izvedena je iz grčkih reči ὅλος () sa značenjem „celokupan”, i μορφή () sa značenjem „forma” ili „izgled”.^[9]

U današnje vreme, termin „holomorfna funkcija” se donekle preferira u odnosu na „analitička funkcija”, jer je kasniji pojam opštiji koncept. To je isto tako zbog važnog rezultata u kompleksnoj analizi da je svaka holomorfna funkcija kompleksno analitička, što je činjenica koja očigledno ne sledi iz definicija. Termin „analitička” je međutim isto tako u širokoj upotrebi.

Osobine

Kompleksna diferencijacija je linearna i sledi pravila proizvoda i količnika, i lančano pravilo. Stoga su sume, proizvodi i kompozicije holomorfinih funkcija holomorfne, i količnik dve holomorfne funkcije je holomorfan, gde god imenilac nije nula.^[10]

Ako se poistoveti sa ², onda se holomorfne funkcije podudaraju sa funkcijama sa dve realne promenljive sa kontinuiranim privim derivatima kojima se rešavaju Koši-Rimanove jednačine, setom od dve parcijalne diferencijalne jednačine.^[6]

Svaka holomorfna funkcija se može razložiti na njene stvarne i imaginarne delove, a svaki od njih je rešenje Laplasove jednačine na ². Drugim rečima, ako se holomorfna funkcija f(z) izrazi ), onda su i harmonične funkcije, gde je harmonični konjugat.^[11]

Košijeva integralna teorema podrazumeva da konturni integral svake holomorfne funkcije duž petlje nestaje:^[12]

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$

Ovde je γ ispravljiv put u jednostavno povezanom otvorenom podskupu u kompleksnoj ravni čija početna tačka je jednaka njenoj krajnjoj tački, i je holomorfna funkcija.

Košijeva integralna teorema navodi da svaka funkcija holomorfna unutar diska je kompletno određena svojim vrednostima na granici diska.^[12] Osim toga, ako se pretpostavi da je otvoreni podskup od , je holomorfna funkcija i zatvoreni disk {{nowrap|}} je kompletno sadržan u . Neka je γ krug koji formira granicu . Onda za svako a u unutrašnjosti od :

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz}$

gde je konturni integral uzet u smeru suprotnom kazaljkama sata.

Derivat se može napisati kao konturni integral^[12] koristeći Košijeve formule diferencijacije:

${\displaystyle f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,}$

za svaku jednostavnu petlju koja se pozitivno jednom zaokreće oko a, i

${\displaystyle f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)d{\bar {z}},}$

za infinitezimalno pozitivne petlje γ oko a.

U regionima gde prvi derivat nije jednaka nuli, holomorfne funkcije su konformalne u smislu da čuvaju uglove i oblik (ali ne i veličine) malih figura.^[13]

Svaka holomorfna funkcija je analitička. Drugim rečima, holomorfna funkcija ima derivate svakog reda u svakoj tački a u svom domenu, i to se podudara sa njenom sopstvenom Tejlorovom serijom u a u blizini a. Zapravo, se podudara sa njenom Tejlorovom serijom u a u svakom disku centriranom u toj tački i leži unutra domene funkcije.

Sa algebarske tačke gledišta, set holomorfinih funkcija na otvorenom setu je komutativni prsten i kompleksni vektorski prostor. Dodatno, set holomorfnih funkcija u otvorenom setu je integralni domen ako i samo ako je otvoreni set povezan.^[7] Zapravo, to je lokalno konveksan topološki vektorski prostor, pri čemu su seminorme supreme na kompaktnim podsetovima.

Sa geometrijske perspektive, funkcija je holomorfna u ₀ ako i samo ako je njen spoljašnji derivat u blizini od ₀ jednak sa za neku kontinuiranu funkciju . Iz

${\displaystyle \textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz}$

sledi da je isto tako proporcionalno sa , te je stoga sam derivat holomorfan i je beskonačno diferencijabilna. Slično tome, iz činjenica da je {{nowrap|}} sledi da bilo koja funkcija koja je holomorfna na jednostavno povezanom regionu je isto tako integrabilna na . (Za stazu γ od ₀ do koja u potpunosti leži unutar , definisanu

${\displaystyle \textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }fdz}$;

u smislu teoreme Žordanove krive i generalizovane Stokesove teoreme, je nezavisno od datog izbora puta γ, i stoga je dobro definisana funkcija unutar za koji je {{nowrap|}} i {{nowrap|}}.)

Reference

1. Analytic functions of one complex variable, Encyclopedia of Mathematics. (European Mathematical Society ft. Springer, 2015)
2. Springer Online Reference Books, Wolfram MathWorld
3. Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
4. Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
5. Peter Ebenfelt, Norbert Hungerbühler, Joseph J. Kohn, Ngaiming Mok, Emil J. Straube (2011) Complex Analysis Springer Science & Business Media
6. Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
7. Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall series in Modern Analysis, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, стр. xiv+317, MR 0180696, Zbl 0141.08601
8. Gray, J. D.; Morris, S. A. (1978), „When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?”, The American Mathematical Monthly (објављено april 1978), 85 (4): 246—256, JSTOR 2321164, doi:10.2307/2321164.
9. Markushevich, A. I. (2005) [1977]. Silverman, Richard A., ур. Theory of functions of a Complex Variable (2nd изд.). New York: American Mathematical Society. стр. 112. ISBN 0-8218-3780-X.
10. Henrici, Peter (1993) [1986], Applied and Computational Complex Analysis Volume 3, Wiley Classics Library (Reprint изд.), New York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapore: John Wiley & Sons, стр. X+637, ISBN 0-471-58986-1, MR 0822470, Zbl 1107.30300.
11. Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society.
12. Lang, Serge (2003), Complex Analysis, Springer Verlag GTM, Springer Verlag
13. Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd изд.), New York: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR 924157

Literatura

• Blakey, Joseph (1958). University Mathematics (2nd изд.). London: Blackie and Sons. OCLC 2370110.
• Ahlfors, Lars V. (1973), Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw–Hill Book Co., MR 0357743
• Constantin Carathéodory (1932) Conformal Representation, Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
• Chanson, H. (2009), Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages, ISBN 978-0-415-49271-3
• Churchill, Ruel V. (1974), Complex Variables and Applications, New York: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd изд.), New York: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR 924157

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Analytic function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104.