Функција индикатор

У математици, функција индикатор или карактеристична функција је функција дефинисана на скупу ${\displaystyle X}$, која означава припадност елемента подскупу ${\displaystyle A}$ од ${\displaystyle X}$.

График функције индикатора дводимензионог скупа.

Индикатор функција подскупа ${\displaystyle A}$ скупа ${\displaystyle X}$ је функција

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace \,}$

дефинисана као

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{ako}}\ x\in A,\\0&{\mbox{ako}}\ x\notin A.\end{matrix}}\right.}$

Ајверсонове заграде дозвољавају следећу нотацију: ${\displaystyle [x\in A]}$.

Напомене о нотацији и терминологији

• Нотација ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ може да означава функцију идентитета.
• Нотација ${\displaystyle \chi _{A}}$ може да означава карактерисичну функцију у конвексној анализи.

Израз карактеристична функција има другачије (неповезано) значење у теорији вероватноће. Због овога се у теорији вероватноће за овај појам готово увек користи израз функција индикатор, док математичари у другим областима чешће користе израз карактеристична функција за описивање функције која означава припадност скупу.

Основна својства

Пресликавање које повезује подскуп ${\displaystyle A}$ скупа ${\displaystyle X}$ са својом функцијом индикатором ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ је инјективно.

У следећим формулама, тачка представља множење, 1·1 = 1, 1·0 = 0 итд. "+" и "−" представљају сабирање и одузимање. "${\displaystyle \cap }$" и "${\displaystyle \cup }$" су пресек и унија.

Ако су ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ два подскупа од ${\displaystyle X}$, онда

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\,}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},}$

а комплемент функције индикатора за A, тј. A^C је:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$

Општије, претпоставимо да је ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ колекција подскупова од ${\displaystyle X}$. За свако ${\displaystyle x\in X}$,

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$

је јасно производ нула и јединица. Овај производ има вредност ${\displaystyle 1}$ тачно за оне ${\displaystyle x\in X}$ који не припадају ни једном од скупова ${\displaystyle A_{k}}$, а има вредност ${\displaystyle 0}$ иначе. То јест

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$

Ако распишемо производ са елве стране, добијамо,

${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$

где је ${\displaystyle |F|}$ кардиналност од ${\displaystyle F}$. Ово је један облик принципа укључења-искључења.

Као што се види у претходном примеру, функција индикатор је корисна као средство нотације у комбинаторици. Ова нотација се користи и у другим областима, на пример у теорији вероватноће: ако је ${\displaystyle X}$ простор вероватноће са мером вероватноће ${\displaystyle \mathbb {P} }$ и ${\displaystyle A}$ је мерљиви скуп, онда ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ постаје случајна променљива чија је очекивана вредност једнака вероватноћи ${\displaystyle A:}$

${\displaystyle E(\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A).\quad }$

Овај идентитет је једноставан доказ Марковљеве неједнакости.

Литература