Тејлоров полином

Тејлорови редови се користе у анализи да се представи дата функција у околини неке тачке по избору као бесконачна сума чланова који се израчунавају из вредности извода функције у тој тачци.^[1][2][3] Ови редови су добили име по математичару Бруку Тејлору. Сродне тема је наравно Тејлорова формула, којом се служимо да функцију представимо као бесконачан ред.

Како степен Тејлоровог полинома расте, он се све више приближава функцији коју апроксимира. Слика показује функцију ${\displaystyle \sin x}$ и Тејлорове апроксимације полиномом развијеног до следећих редова степенима 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Експоненцијална функција (плаво), и сума првих +1 чланова њеног Тејлоровог реда у 0 (црвено).

Дефиниција

Тејлоров ред за неку сталну функцију ${\displaystyle f(x)}$ са бесконачно пуно извода за изабрану тачку ${\displaystyle a}$ јесте дефинисан овако:

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\cdots }$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

Тејлоровим остатком ${\displaystyle R_{n}^{a}(x)}$ полинома називамо део за који се разликује функција и Тејлоров полином, тј. грешку која се при таквој апроксимацији функције полиномом прави, и он износи:

${\displaystyle R_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt}$

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку ${\displaystyle a}$ коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

${\displaystyle f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)}$

Када функција има више аргумената, примењујемо:

${\displaystyle T(x_{1},\cdots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}$

У случају да добијемо вишедимензионалну функцију, користимо се следећом методом:

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )^{T}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots }$

где је ${\displaystyle \nabla f(\mathbf {a} )}$ градијент, а ${\displaystyle \nabla ^{2}f(\mathbf {a} )}$ Хесова матрица.

Извод нултог реда од f се дефинише као сама f и (x − a)⁰ и 0! су по дефиницији једнаки 1. Кад је a = 0, серија се исто тако назива Маклоренов ред.^[4]

Конвергентност

Тејлоров ред не мора по правилу да конвергира за све ${\displaystyle x}$. У ствари, он конвергира само онда када остатак, ${\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)}$, конвергира према 0.

Када је ${\displaystyle f(x)}$ сама степени ред око тачке ${\displaystyle a}$, онда је Тејлоров ред идентичан са њим.

Примери

Маклоренов ред за било који полином је поново полином. Маклоренов ред за (1 − x)⁻¹ је геометријски ред

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$

тако да Тејлоров ред за x⁻¹ u  = 1

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}$

Интеграцијом горњег Маклореновог реда проналази се Маклоренов ред за −(1  − x), gde означава природни логаритам:

${\displaystyle x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!}$

а одговарајући Тејлоров ред за (x) у  = 1 је

${\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!}$

Тејлоров ред за експоненцијалну функцију ${\displaystyle e^{x}}$ у ${\displaystyle a=0}$ је

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \qquad =\qquad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!}$

Горњи израз важи зато што је деривација од ^x такође ^x, а ⁰ једнако је 1. Ово оставља чланове (x − 0) у бројиоцу, а ! остају у имениоцу за сваки члан у бесконачној суми.

Пример функције која се не да апроксимирати уз помоћ Тејлорових редова

Тејлоров ред не конвергира увек ка функцији. У следећем примеру Тејлоров ред не одговара функцији ни у једној тачки:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{kada }}x\leq 0\\\mathrm {e} ^{-1/x}&{\mbox{kada }}x>0\end{cases}}}$

За вредности ${\displaystyle x\leq 0}$ извод горње функције је 0. То значи да за свако изабрано ${\displaystyle a\leq 0}$ добијамо Тејлоров полином који је увек нула. За случај ${\displaystyle a>0}$ добијамо ред који конвергира само у интервалу ${\displaystyle [0,2a]}$.

Тејлоров ред са радијусом конвергенције већим од нуле

Многе функције можемо представити као степене редове, који су истовремено и Тејлоров ред те исте функције.

Експоненцијална функција и логаритам

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}},\ \ \ \ -1<x\leq +1}$

У пракси овај ред конвергира често преспоро, те се зато користи следећа варијанта:

${\displaystyle \log \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}},\ \ \ \ -1<x<+1}$

Када изаберемо ${\displaystyle x:={\frac {y-1}{y+1}}}$ за неко ${\displaystyle y>0}$, овај ред конвергира ка ${\displaystyle \log(y)}$.

Тригонометријске функције

За ${\displaystyle a=0}$ добијамо следеће редове:

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

${\displaystyle \tan(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$, притом је ${\displaystyle B_{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$ по реду Бернулијев број.

${\displaystyle \sec(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$, где је ${\displaystyle E_{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$ по реду Ојлеров број.

Списак Тејлорових редова неких уобичајених функција

Такође погледајте: Списак математичких редова

Косинусна функција у комплексној равни.

Осми степен апроксимације косинусне функције у комплексној равни.

Две горње криве постављене заједно.

Следи неколико важних проширења Маклоренових редова. Сва ова проширења важе за комплексне аргументе ${\displaystyle x\!}$.

Експоненцијална функција:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!}$

Природни логаритам:

${\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ za }}|x|\leq 1,\,x\not =1}$

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ za }}|x|\leq 1,\,x\not =-1}$

Коначан геометријски ред:

${\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ za }}x\not =1{\text{ i }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

Бесконачан геометријски ред:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ za }}|x|<1\!}$

Варијанте бесконачних геометријских редова:

${\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ za }}|x|<1{\text{ i }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ za }}|x|<1\!}$

Квадратни корен:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}{\text{ za }}|x|<1\!}$

Биномни ред (укључујући квадратни корен за α = 1/2 и бесконачан геометријски ред за α = −1):

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ za sve }}|x|<1{\text{ i sve kompleksne }}\alpha \!}$

са општим биномним коефицијентима

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.\!}$

Тригонометријске функције:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad =x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ za sve }}x\!}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad =1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ za sve }}x\!}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

Где је Бернулијев број.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|<1\!}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|\leq 1\!}$

Хиперболичка функција:

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!}$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!}$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {2}{15}}z^{5}-{\frac {17}{315}}z^{7}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|<1\!}$

${\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ za }}|x|<1\!}$

Ламбертова W функција:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}{\text{ za }}|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}\!}$

Бројеви , који се појављују у сумирању при развијању (x) и (x) представљају Бернулијев број. у развијању (x) је Ојлеров број.

Види још

• Тејлорова формула
• Маклоренова формула
• Лоранов ред
• Доказ да су холоморфске функције аналитичке
• Њутнов полином
• Диференцијална машина
• Лагранжова теорема