Кеплерови закони

У астрономији, Кеплерови закони о кретању планета, које је објавио Јохан Кеплер између 1609. и 1619. године, описују орбите планета око Сунца. Закони су модификовали хелиоцентричну теорију Николe Коперника, замењујући њене кружне орбите и епицикле елиптичним путањама и објашњавајући како се планетарне брзине разликују. Три закона наводе да:^[1][2]

1. Све планете се крећу по елипсама којима је једно од жаришта Сунце.
2. Радијус вектор (проводница) Сунце-планета (дужина која спаја средиште Сунца и тренутни положај планете), прелази у једнаким временским размацима једнаке површине.
3. Квадрати опходних времена планета пропорционални су кубовима њихових средњих удаљености од Сунца.

Слика приказује 3 Кеплерова закона са две планетарне путање:
(1) Путање планета су елипсе, са жариштима ƒ₁ i ƒ₂ за прву планету и ƒ₁ и ƒ₃ за другу планету. Сунце је смештено у жаришту ƒ₁.
(2) Два засенчена подручја A₁ и A₂ имају једнаке површине и време за планету 1 да прекрије подручје A₁ је једнако оном да прекрије подручје A₂.
(3) Укупна опходна времена планете 1 и планете 2 имају однос ₁^3/2 : ₂^3/2.

Елиптичне орбите планета су назначене прорачунима орбите Марса. Из овога је Кеплер закључио да и друга тела у Сунчевом систему, укључујући она удаљенија од Сунца, такође имају елиптичне орбите. Други закон помаже да се утврди да када је планета ближа Сунцу, она путује брже. Трећи закон изражава да што је планета удаљенија од Сунца, то је њена орбитална брзина спорија и обрнуто.

Исак Њутн је 1687. показао да ће се односи попут Кеплерових применити у Сунчевом систему као последица његових сопствених закона кретања и закона универзалне гравитације.

Прецизнији историјски приступ налази се у Astronomia nova и Epitome Astronomiae Copernicanae.

Поређење са Коперником

Закони Јоханеса Кеплера су побољшали Коперников модел. Према Копернику:^[3][4]

• Планетарна орбита је круг са епициклима.
• Сунце је приближно у центру орбите.
• Брзина планете у главној орбити је константна.

Иако је био у праву када је рекао да се планете окрећу око Сунца, Коперник није адекватно је дефинисао њихове орбите. Кеплер је тачно дефинисао орбиту планета на следећи начин:^[2][1][5]

• Планетарна орбита није круг са епициклима, већ елипса.
• Сунце није у центру, већ у фокусној тачки елиптичне орбите.
• Ни линеарна брзина ни угаона брзина планете у орбити нису константне, али је површинска брзина (историјски блиско повезана са концептом угаоног момента) константна.

Ексцентрицитет Земљине орбите чини време од мартовске до септембарске равнодневице, око 186 дана, неједнаким времену од септембарске до мартовске равнодневице, око 179 дана. Пречник би пресекао орбиту на једнаке делове, али раван кроз Сунце паралелна са екватором Земље пресеца орбиту на два дела са површинама у односу 186 према 179, тако да је ексцентрицитет Земљине орбите приближно

${\displaystyle e\approx {\frac {\pi }{4}}{\frac {186-179}{186+179}}\approx 0.015,}$

што је близу тачној вредности (0,016710218). Тачност овог прорачуна захтева да два изабрана датума буду дуж мале осе елиптичне орбите и да средине сваке половине буду дуж главне осе. Пошто су два датума изабрана овде равнодневнице, ово ће бити тачно када перихел, датум када је Земља најближа Сунцу, падне на солстициј. Тренутни перихел, близу 4. јануара, прилично је близу солстицију 21. или 22. децембра.

Номенклатура

Било је потребно скоро два века да садашња формулација Кеплеровог дела поприми свој устаљени облик. Волтерови Eléments de la philosophie de Newton (Елементи Њутнове филозофије) из 1738. године била је прва публикација која је користила терминологију „закона“.^[6][7] Биографска енциклопедија астронома у свом чланку о Кеплеру (стр. 620) наводи да је терминологија научних закона за ова открића била актуелна барем од времена Жозефа де Лаланда.^[8] Управо је излагање Роберта Смола, у Извештају о астрономским открићима Кеплера (1814) које је сачинило скуп од три закона, додавањем трећег.^[9] Смол је такође тврдио, против историје, да су то били емпиријски закони, засновани на индуктивном закључивању.^[7][10]

Даље, тренутна употреба „Кеплеровог другог закона”" је донекле погрешна. Кеплер је имао две верзије, повезане у квалитативном смислу: „закон удаљености“ и „закон области“. „Закон области“ је оно што је постало Други закон у скупу од три; али сам Кеплер то није привилеговао на тај начин.^[11]

Први Кеплеров закон

Сунце као фокус у елиптичкој орбити

Главни чланак: Први Кеплеров закон

Планете се крећу по елиптичким путањама у којем се у једном од фокуса налази центар масе, сунце.

${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \phi }}}$

Доказ

Напише се Лагранжева функција за Сунчев систем (неку планету):${\displaystyle L=T-V={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\Bigl (}-{\frac {\gamma Mm}{r}}{\Bigr )}={\frac {1}{2}}m{\Bigl (}{dr \over dt}{\Bigr )}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\Bigl (}{d\phi \over dt}{\Bigr )}^{2}+{\frac {\gamma Mm}{r}}}$,

где је m — маса планете, М — маса Сунца, γ — univerzalna gravitaciona konstanta, ${\displaystyle \gamma =6\,67\cdot 10^{-11}{\frac {[N][m]^{2}}{[kg]^{2}}}}$, r — растојање између Сунца и планете, ${\displaystyle {dr \over dt}}$-радијална брзина и ${\displaystyle r{d\phi \over dt}}$ — азимутална брзина

Сада се може уочити једна константа кретања користећи Лагранжове једначине:

Елипса са значајним тачкама

${\displaystyle -{d \over dt}{\Bigl (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}{\Bigr )}+{\frac {\partial L}{\partial \phi }}=0}$

Kako je ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \phi }}=0}$ то је ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=const}$, односно ${\displaystyle mr^{2}{\dot {\phi }}=p_{\phi }}$ је константа кретања или момент импулса планете у односу на Сунце. Сада напишимо Хамилтонову функцију система, која у случају конзервативних сила представља и укупну енергију система:${\displaystyle H=T+V={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {\gamma Mm}{r}}=E}$ или ${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {p_{\phi }^{2}}{mr^{2}}}-{\frac {\gamma Mm}{r}}=E}$; одавде је:

${\displaystyle {\dot {r}}={dr \over dt}={\sqrt {{\frac {2E}{m}}-{\frac {{\dot {p_{\phi }}}^{2}}{m^{2}r^{2}}}+2{\frac {\gamma M}{r}}}}}$. Елиминише се променљива t сменом: ${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {d\phi }{d\phi }}{\frac {dr}{dt}}={\frac {d\phi }{dt}}{\frac {dr}{d\phi }}={\frac {p_{\phi }}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\phi }}={\sqrt {{\frac {2E}{m}}-{\frac {{p_{\phi }}^{2}}{m^{2}r^{2}}}+2{\frac {\gamma M}{r}}}}}$

Уведе се смена:${\displaystyle {\frac {p_{\phi }}{mr}}=u}$; ${\displaystyle du=-{\frac {p_{\phi }dr}{mr^{2}}}}$, па једначина изнад прелази у:

${\displaystyle -{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2E}{m}}-u^{2}+2{\frac {\gamma Mmu}{p_{\phi }}}}}}=d\phi }$<=> ${\displaystyle -{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2E}{m}}+{\Bigl (}{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}u-{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}{\Bigr )}^{2}}}}=d\phi }$

Сменом: ${\displaystyle z={\frac {u-{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}}{\sqrt {{\frac {2E}{m}}+{\Bigl (}{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}{\Bigr )}^{2}}}}}$=> ${\displaystyle {\frac {-dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}=d\phi }$=> ${\displaystyle z=\cos \phi }$=> ${\displaystyle {\frac {p_{\phi }}{mr}}-{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}={\sqrt {{\frac {2E}{m}}+{\Bigl (}{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}{\Bigr )}^{2}}}\cos \phi }$=> ${\displaystyle r={\frac {\frac {p_{\phi }}{m}}{{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}+{\sqrt {{\frac {2E}{m}}+{\Bigl (}{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}{\Bigr )}^{2}}}\cos \phi }}}$

${\displaystyle r={\frac {\frac {p_{\phi }^{2}}{\gamma Mm^{2}}}{1+{\sqrt {1+{\frac {2Ep_{\phi }^{2}}{\gamma ^{2}M^{2}m^{3}}}}}\cos \phi }}}$=${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \phi }}}$

Други Кеплеров закон

Илустрација за Кеплеров други закон

Главни чланак: Други Кеплеров закон

Радијус вектор Сунце—планета у једнаким временским интервалима описује једнаке површине.

Овај закон се математички може представити изразом:

${\displaystyle r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=const}$

Доказ следи из: ${\displaystyle mr^{2}{\dot {\phi }}=p_{\phi }}$

Трећи Кеплеров закон

Главни чланак: Трећи Кеплеров закон

Квадрати периода обиласка планета око сунца (T) сразмерни су кубовима великих полуоса (a) њихових путања.

Математички, овај закон се може написати изразом: ${\displaystyle {\frac {a_{1}^{3}}{T_{1}^{2}}}={\frac {a_{2}^{3}}{T_{2}^{2}}}=const}$

Доказ

Пође се од израза:${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \phi }}}$ и примети да је ${\displaystyle r={\frac {p}{1-\epsilon }}=a+e}$;${\displaystyle \phi =\pi }$ и:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+\epsilon }}=a-e}$;${\displaystyle \phi =0}$, а — велика полуоса елипсе; е — ексцентритет елипсе или растојање фокуса од центра елипсе; b — мала полуоса, ${\displaystyle b={\sqrt {a^{2}-e^{2}}}}$

${\displaystyle a={\frac {p}{1-\epsilon ^{2}}}}$, ${\displaystyle e=a\epsilon }$; ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}}$

У овом случају: ${\displaystyle p={\frac {p_{\phi }^{2}}{\gamma Mm^{2}}}}$; ${\displaystyle 1-\epsilon ^{2}=-{\frac {2Ep_{\phi }^{2}}{\gamma ^{2}M^{2}m^{3}}}}$; ${\displaystyle a=-{\frac {\gamma Mm}{2E}}}$

Како је површина елипсе: ${\displaystyle S=\pi ab=\int _{0}^{T}{r^{2}{\dot {\phi }}dt}}$= ${\displaystyle \int _{0}^{T}{{\frac {p_{\phi }}{m}}dt}={\frac {p_{\phi }}{m}}T}$

${\displaystyle \pi ab=\pi a^{2}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}={\frac {p_{\phi }}{m}}T}$<=> ${\displaystyle \pi ^{2}a^{4}{\Bigl (}1-\epsilon ^{2}{\Bigr )}={\frac {p_{\phi }^{2}}{m^{2}}}T^{2}}$

${\displaystyle {\frac {p_{\phi }^{2}}{m^{2}}}T^{2}=\pi ^{2}{\frac {\gamma ^{4}M^{4}m^{4}}{16E^{4}}}{\frac {2Ep_{\phi }^{2}}{\gamma ^{2}M^{2}m^{3}}}}$<=> ${\displaystyle T^{2}={\frac {\pi ^{2}\gamma ^{2}M^{2}m^{3}}{8E^{3}}}=\pi ^{2}a^{3}}$

Види још

• Јохан Кеплер
• Механика
• Гравитација
• Гравитационо поље
• Њутнов гравитациони закон
• Кеплерова улога

Референце

1. „Orbits and Kepler's Laws”. NASA Solar System Exploration. Приступљено 13. 12. 2022.
2. „Kepler's Laws”. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Приступљено 13. 12. 2022.
3. „Planetary Motion: The History of an Idea That Launched the Scientific Revolution”. earthobservatory.nasa.gov (на језику: енглески). 07. 07. 2009. Приступљено 13. 12. 2022.
4. „Nicolaus Copernicus”. HISTORY (на језику: енглески). Приступљено 13. 12. 2022.
5. Hurley, Steve (20. 01. 2018). „Johannes Kepler”. Explaining Science (на језику: енглески). Приступљено 13. 12. 2022.
6. Voltaire, Eléments de la philosophie de Newton [Elements of Newton's Philosophy] (London, England: 1738). See, for example:

   • From p. 162: "Par une des grandes loix de Kepler, toute Planete décrit des aires égales en temp égaux : par une autre loi non-moins sûre, chaque Planete fait sa révolution autour du Soleil en telle sort, que si, sa moyenne distance au Soleil est 10. prenez le cube de ce nombre, ce qui sera 1000., & le tems de la révolution de cette Planete autour du Soleil sera proportionné à la racine quarrée de ce nombre 1000." (By one of the great laws of Kepler, each planet describes equal areas in equal times ; by another law no less certain, each planet makes its revolution around the sun in such a way that if its mean distance from the sun is 10, take the cube of that number, which will be 1000, and the time of the revolution of that planet around the sun will be proportional to the square root of that number 1000.)
   • From p. 205: "Il est donc prouvé par la loi de Kepler & par celle de Neuton, que chaque Planete gravite vers le Soleil, ... " (It is thus proved by the law of Kepler and by that of Newton, that each planet revolves around the sun ... )
7. Wilson, Curtis (мај 1994). „Kepler's Laws, So-Called” (PDF). HAD News (31): 1—2. Приступљено 27. 12. 2016.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
8. De la Lande, Astronomie, vol. 1 (Paris, France: Desaint & Saillant, 1764). See, for example:

   • From page 390: " ... mais suivant la fameuse loi de Kepler, qui sera expliquée dans le Livre suivant (892), le rapport des temps périodiques est toujours plus grand que celui des distances, une planete cinq fois plus éloignée du soleil, emploie à faire sa révolution douze fois plus de temps ou environ; ... " ( ... but according to the famous law of Kepler, which will be explained in the following book [i.e., chapter] (paragraph 892), the ratio of the periods is always greater than that of the distances [so that, for example,] a planet five times farther from the sun, requires about twelve times or so more time to make its revolution [around the sun] ... )
   • From page 429: "Les Quarrés des Temps périodiques sont comme les Cubes des Distances. 892. La plus fameuse loi du mouvement des planetes découverte par Kepler, est celle du repport qu'il y a entre les grandeurs de leurs orbites, & le temps qu'elles emploient à les parcourir; ... " (The squares of the periods are as the cubes of the distances. 892. The most famous law of the movement of the planets discovered by Kepler is that of the relation between the sizes of their orbits and the times that the [planets] require to traverse them; ... )
   • From page 430: "Les Aires sont proportionnelles au Temps. 895. Cette loi générale du mouvement des planetes devenue si importante dans l'Astronomie, sçavior, que les aires sont proportionnelles au temps, est encore une des découvertes de Kepler; ... " (Areas are proportional to times. 895. This general law of the movement of the planets [which has] become so important in astronomy, namely, that areas are proportional to times, is one of Kepler's discoveries; ... )
   • From page 435: "On a appellé cette loi des aires proportionnelles aux temps, Loi de Kepler, aussi bien que celle de l'article 892, du nome de ce célebre Inventeur; ... " (One called this law of areas proportional to times (the law of Kepler) as well as that of paragraph 892, by the name of that celebrated inventor; ... )
9. Robert Small, (1804). An account of the astronomical discoveries of Kepler. London: England: J Mawman. стр. 298—299.
10. Robert Small, An account of the astronomical discoveries of Kepler (London, England: J. Mawman, 1804).
11. Bruce Stephenson (1994). Kepler's Physical Astronomy. Princeton University Press. стр. 170. ISBN 978-0-691-03652-6.

Литература

• Kepler's life is summarized on pages 523–627 and Book Five of his magnum opus, Harmonice Mundi (harmonies of the world), is reprinted on pages 635–732 of On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy (works by Copernicus, Kepler, Galileo, Newton, and Einstein). Stephen Hawking, ed. 2002.  978-0-7624-1348-5.
• A derivation of Kepler's third law of planetary motion is a standard topic in engineering mechanics classes. See, for example, pages 161–164 of Meriam, J. L. (1971) [1966]. „Dynamics, 2nd ed”. New York: John Wiley. ISBN 978-0-471-59601-1..
• Murray and Dermott (1999). Solar System Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57597-3.
• V.I. Arnold (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.

Спољашње везе

• B.Surendranath Reddy; animation of Kepler's laws: applet
• Crowell, Benjamin, Conservation Laws, „http://www.lightandmatter.com/area1book2.html”. Архивирано из оригинала 01. 06. 2020. г. Спољашња веза у |title= (помоћ), an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus. (see section 5.2, pp. 112)
• David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law - Java Interactive Tutorial, https://web.archive.org/web/20060910225253/http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html, an interactive Java applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
• University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion
• „Equant compared to Kepler: interactive model”. Архивирано из оригинала 26. 12. 2008. г.
• Kepler's Third Law:interactive model Архивирано на сајту (26. децембар 2008)
• Solar System Simulator (Interactive Applet)
• "Derivation of Kepler's Laws" (from Newton's laws) at Physics Stack Exchange.
• Crowell, Benjamin, Light and Matter, an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus (see section 15.7)
• Audio – Cain/Gay (2010) Astronomy Cast Johannes Kepler and His Laws of Planetary Motion
• Solar System Simulator (Interactive Applet)
• Kepler and His Laws, educational web pages by David P. Stern