Паралелност (геометрија)

Паралелност у геометрији представља однос између два геометријска објекта. Примери дефинисања паралелности у еуклидској геометрији су:

• Две праве су паралелне уколико се налазе у једној равни и не секу се.
• Права је паралелна са равни, уколико са њом нема пресечних тачака. (еуклидски простор)
• Две различите равни су паралелне уколико се не секу. (еуклидски простор)

Линијско цртање паралелних линија и кривих.

У тродимензионом простору треба разликовати појам паралелности и мимоилажења. Уколико две праве не леже у истој равни и не секу се, онда су исте мимоилазне а не паралелне. По сличном концепту постоји и појам мимоилазних равни у еуклидским просторима већих димензија. У еуклидском простору , за два афина потпростора ₁ + ₁ и ₂ + ₂ каже се да су паралелни ако је један од одговарајућих векторских потпростора ₁ и ₂ потпростор другог. У геометријском простору тачака у којем је уведен појам бесконачно далеких тачака, два геометријска објекта су паралелна уколико се секу у бесконачно далекој тачки.

Паралелне праве су предмет Еуклидовог паралелног постулата.^[1] Паралелизам је првенствено својство афине геометрије, а еуклидска геометрија је посебан пример ове врсте геометрије. У неким другим геометријама, као што је хиперболична геометрија, линије могу имати аналогна својства која се називају паралелизам.

Симбол

Паралелни симбол је ${\displaystyle \parallel }$.^[2][3] На пример, ${\displaystyle AB\parallel CD}$ означава да је права AB паралелна са линијом CD.

У јуникодном скупу знакова, „паралелни“ и „непаралелни“ знаци имају кодне тачке U+2225 (∥ и U+2226 (∦). Поред тога, U+22D5 (⋕) представља релацију „једнако и паралелно“.^[4]

Исти симбол се користи за бинарну функцију у електротехници (паралелни оператор). Разликује се од двоструких вертикалних заграда које означавају норму, као и од логичког или оператора (||) у неколико програмских језика.

Еуклидски паралелизам

Две праве у равни

Услови за паралелизам

Као што показују квачице, праве a и b су паралелне. Ово се може доказати јер трансверзала t производи подударне одговарајуће углове ${\displaystyle \theta }$, приказане овде и десно од трансверзале, један изнад и поред праве a, а други изнад и суседно са линији б.

За дате паралелне праве l и m у Еуклидском простору, следећа својства су еквивалентна:

• Свака тачка на правој m налази се на потпуно истој (минималној) удаљености од праве l (једнако удаљене праве).
• Права m је у истој равни као и права l, али не сече l (праве пружају бесконачно у оба смера).
• Када се обе праве m и l пресеку трећом правом линијом (трансверзалом) у истој равни, одговарајући углови пресека са трансверзалом су подударни.

Пошто су ово еквивалентна својства, било које од њих би се могло узети као дефиниција паралелних правих у еуклидском простору, али прво и треће својство укључују мерење, те су „компликованија“ од другог. Дакле, друго својство је оно које се обично бира као одређујуће својство паралелних правих у еуклидској геометрији.^[5] Остала својства су онда последице Еуклидовог паралелног постулата. Још једно својство које такође укључује мерење је да линије паралелне једна са другом имају исти градијент (нагиб).

Историја

Дефиниција паралелних правих као пара правих у равни које се не састају појављује се као дефиниција 23 у првој књизи Еуклидових елемената.^[6] Други Грци су расправљали о алтернативним дефиницијама, често као део покушаја да се докаже паралелни постулат. Прокло приписује дефиницију паралелних правих као једнако удаљених линија Посидонију и цитира Гемина на сличан начин. Симплиције такође помиње Посидонијеву дефиницију као и њену модификацију од стране филозофа Аганиса.^[6]

Крајем деветнаестог века, у Енглеској, Еуклидови елементи су и даље били стандардни уџбеник у средњим школама. Традиционални третман геометрије био је под притиском да се промени новим развојем у пројективној геометрији и нееуклидској геометрији, те је у то време написано неколико нових уџбеника за наставу геометрије. Главна разлика између ових реформских текстова, како између њих самих, тако и између њих и Еуклида, је третман паралелних линија.^[7] Ови реформски текстови нису били без својих критичара и један од њих, Чарлс Доџсон (познатији као Луис Карол), написао је драму Еуклид и његови модерни ривали, у којој се ови текстови осуђују.^[8]

Један од првих реформских уџбеника био је Елементарна геометрија Џејмса Мориса Вилсона из 1868.^[9] Вилсон је своју дефиницију паралелних правих засновао на примитивном појму правца. Према Вилхелму Килингу,^[10] идеја се може пратити још од Лајбница.^[11] Вилсон, без дефинисања правца пошто је примитиван, користи термин у другим дефиницијама, као што је његова шеста дефиниција, „Две праве линије које се сусрећу имају различите правце, а разлика њихових праваца је угао између њих.“ Wilson (1868, p. 2) У дефиницији 15 он уводи паралелне праве на овај начин; „Праве које имају исти правац, али нису делови исте праве, називају се паралелне.Wilson (1868, p. 12) Августус Де Морган је прегледао овај текст и прогласио га неуспешним, првенствено на основу ове дефиниције и начина на који ју је Вилсон користио за доказе о паралелним правима. Доџсон такође посвећује велики део своје драме (Други чин, сцена VI § 1) осуди Вилсоновог третмана паралела. Вилсон је уредио овај концепт од трећег и виших издања свог текста.^[12]

Остале особине, које су предложили други реформатори, коришћене као замена за дефиницију паралелних правих, нису прошле много боље. Главна потешкоћа, како је истакао Доџсон, била је у томе што је за њихово коришћење на овај начин било потребно додати додатне аксиоме систему. Позидонијева дефиниција еквидистантне линије, коју је изложио Френсис Катберцон у свом тексту Еуклидска геометрија из 1874. године, пати од проблема да тачке које се налазе на фиксној датој удаљености на једној страни праве морају бити приказане да формирају праву линију. Ово се не може доказати и мора се претпоставити да је тачно.^[13] Одговарајући углови формирани трансверзалним својством, које је В. Д. Кули користио у свом тексту из 1860. године, Елементи геометрије, поједностављено и објашњено, захтева доказ чињенице да ако се једна трансверзала сусреће са паром правих у конгруентним одговарајућим угловима, онда све трансверзале морају да раде тако. Опет, потребан је нови аксиом да би се оправдала ова изјава.

Конструкција

Три горња својства доводе до три различите методе конструкције^[14] паралелних правих.

• 
  Проблем: Повуците праву кроз a паралелно са l.
• 
  Својство 1: Права m има свуда исто растојање до праве l.
• 
  Својство 2: Узмите случајну праву кроз a која сече l у x. Померите тачку x у бесконачност.
• 
  Својство 3: l и m деле попречну праву кроз a која их сече под углом од 90°.

Растојање између две паралелне праве

Главни чланак: Растојање између две линије

Пошто су паралелне праве у еуклидској равни једнако удаљене, постоји јединствено растојање између две паралелне праве. Имајући у виду једначине две невертикалне, нехоризонталне паралелне праве,

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

растојање између две праве може се наћи тако што се лоцирају две тачке (по једна на свакој правој) које леже на заједничкој нормали на паралелне праве и израчуна се растојање између њих. Пошто праве имају нагиб m, заједничка нормала би имала нагиб −1/m и може се узети права са једначином y = −x/m као заједничка управа. Могу се решити линеарни системи

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}$

и

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}$

да би се добиле координате тачака. Решења линеарних система су тачке

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}$

и

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}$

Ове формуле и даље дају тачне координате тачке чак и ако су паралелне праве хоризонталне (тј. m = 0). Удаљеност између тачака је

${\displaystyle d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

што се редукује на

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Када су линије дате општим обликом једначине праве (укључене су хоризонталне и вертикалне линије):

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

њихова удаљеност се може изразити као

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Референце

1. Although this postulate only refers to when lines meet, it is needed to prove the uniqueness of parallel lines in the sense of Playfair's axiom.
2. Kersey (the elder), John. Algebra. Book IV. London. стр. 177.
3. Cajori, Florian (1993) [September 1928]. „§ 184, § 359, § 368”. A History of Mathematical Notations - Notations in Elementary Mathematics. 1 (two volumes in one unaltered reprint изд.). Chicago, US: Open court publishing company. стр. 193, 402–403, 411–412. ISBN 0-486-67766-4. LCCN 93-29211. Приступљено 2019-07-22. „§359. […] ∥ for parallel occurs in Oughtred's Opuscula mathematica hactenus inedita (1677) [p. 197], a posthumous work (§ 184) […] §368. Signs for parallel lines. […] when Recorde's sign of equality won its way upon the Continent, vertical lines came to be used for parallelism. We find ∥ for "parallel" in Kersey,[14] Caswell, Jones,[15] Wilson,[16] Emerson,[17] Kambly,[18] and the writers of the last fifty years who have been already quoted in connection with other pictographs. Before about 1875 it does not occur as often […] Hall and Stevens[1] use "par[1] or ∥" for parallel […] [14] John Kersey, Algebra (London, 1673), Book IV, p. 177. [15] W. Jones, Synopsis palmarioum matheseos (London, 1706). [16] John Wilson, Trigonometry (Edinburgh, 1714), characters explained. [17] W. Emerson, Elements of Geometry (London, 1763), p. 4. [18] de, Die Elementar-Mathematik, Part 2: Planimetrie, 43. edition (Breslau, 1876), p. 8. […] [1] H. S. Hall and F. H. Stevens, Euclid's Elements, Parts I and II (London, 1889), p. 10. […]”
4. „Mathematical Operators – Unicode Consortium” (PDF). Приступљено 2013-04-21.
5. Wylie Jr. 1964, pp. 92—94
6. Heath 1956, pp. 190–194
7. Richards 1988, Chap. 4: Euclid and the English Schoolchild. pp. 161–200
8. Carroll, Lewis (2009) [1879], Euclid and His Modern Rivals, Barnes & Noble, ISBN 978-1-4351-2348-9
9. Wilson 1868
10. Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I, p. 5
11. Heath 1956, p. 194
12. Richards 1988, pp. 180–184
13. Heath 1956, p. 194
14. Only the third is a straightedge and compass construction, the first two are infinitary processes (they require an "infinite number of steps".)

Литература

• Kersey (the elder), John. Algebra. Book IV. London. стр. 177.
• Heath, Thomas L. (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] изд.), New York: Dover Publications

(3 vols.): 0-486-60088-2 (vol. 1), 0-486-60089-0 (vol. 2), 0-486-60090-4 (vol. 3). Heath's authoritative translation plus extensive historical research and detailed commentary throughout the text.

• Richards, Joan L. (1988), Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England, Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
• Wilson, James Maurice (1868), Elementary Geometry (1st изд.), London: Macmillan and Co.
• Wylie Jr., C. R. (1964), Foundations of Geometry, McGraw–Hill
• Papadopoulos, Athanase; Théret, Guillaume (2014), La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert: Présentation, traduction et commentaires, Paris: Collection Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard, ISBN 978-2-85367-266-5
• Patrikalakis, Nicholas M.; Maekawa, Takashi (2002). Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing. Springer. стр. 408. ISBN 9783540424543.
• A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, Strasbourg Master class on Geometry, pp, ур. (2012). Notes on hyperbolic geometry. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-105-7.. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich. European Mathematical Society (EMS), 461 pages,. doi:10.4171–105 (неактивно 15. 12. 2024) Проверите вредност параметра |doi= (помоћ). Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ)CS1 одржавање: Формат датума (веза).
• Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry. University of Toronto Press. 1961., Toronto
• Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co.
• Fenchel, Werner; Jakob Nielsen (mathematician) (2003). Asmus L. Schmidt, ур. Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co.
• Lobachevsky, Nikolai I., Lobachevskiĭ, Nikolaĭ Ivanovich (2010). Pangeometry. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-087-6., Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, /hbk
• Milnor, John W.,. „Hyperbolic geometry: The first 150 years”. Bulletin of the American Mathematical Society. 6 (1): 9—24. 1982. Спољашња веза у |title= (помоћ).
• Reynolds, William F. (1993). „Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid”. American Mathematical Monthly. 100 (5): 442—455. doi:10.1080/00029890.1993.11990430..
• Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697.
• Samuels, David (март 2006). „Knit Theory”. Discover Magazine. 27 (3).CS1 одржавање: Формат датума (веза).
• James W. Anderson (2005). Hyperbolic Geometry. Springer. ISBN 1-85233-934-9.
• James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry Архивирано на сајту (6. јул 2010), MSRI Publications, volume 31.
• Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, ISBN 0-486-63415-9
• Papadopoulos, Athanase (2015), Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variations. In: Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique (dir. X. Hascher et A. Papadopoulos), CNRS Editions, Paris, ISBN 978-2-271-08331-9
• Van Brummelen, Glen (2013). Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press. ISBN 9780691148922. Приступљено 31. 12. 2014.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Roshdi Rashed and Athanase Papadopoulos (2017) Menelaus' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/alHarawi's version. Critical edition of Menelaus' Spherics from the Arabic manuscripts, with historical and mathematical commentaries, De Gruyter Series: Scientia Graeco-Arabica 21. 978-3-11-057142-4.

Спољашње везе

• Constructing a parallel line through a given point with compass and straightedge