Teorija reprezentacije je grana matematike koja proučava apstraktnealgebarske strukture predstavljajući njihove elemente kao linearne transformacijevektorskih prostora,[1] i proučava module za ove apstraktne algebarske strukture.[2][3] U suštini, reprezentacija čini apstraktni algebrski objekat konkretnijim opisujući njegove elemente matricama i njegovim algebarskim operacijama (na primer, sabiranje matrica, množenje matrica). Teorija matrica i linearnih operatora je dobro izučena, tako da reprezentacija apstraktnijih objekata u smislu poznatih linearnih algebričnih objekata pomaže u sticanju uvida u svojstava, a ponekad i pojednostavljuje izračunavanja na apstraktnijim teorijama.
Teorija reprezentacije proučava kako algebarske strukture „deluju” na objekte. Najjednostavniji primeri su kako simetrije pravilnih poligona, koje se sastoje od refleksija i rotacija, transformišu poligon.
Algebrski objekti koji se mogu opisati uključuju grupe, asocijativne algebre i Lijeve algebre. Najprominentnija od njih (i istorijski prva) je teorija reprezentacije grupa, u kojoj su elementi grupe predstavljeni invertabilnim matricama na takav način da je grupna operacija množenje matrica.[4][5]
Teorija reprezentacije je korisna metoda jer svodi probleme apstraktne algebre na probleme linearne algebre, oblast koja je dobro izučena.[6] Nadalje, vektorski prostor na kojem je predstavljena grupa (na primer) može biti beskonačno dimenzionalan, i dopuštajući da bude, na primer, Hilbertov prostor, metode analize mogu se primeniti na teoriju grupa.[7][8] Teorija reprezentacije je takođe važna u fizici jer, na primer, ona opisuje kako grupa simetrije fizičkog sistema utiče na rešenja jednačina koja opisuju taj sistem.[9]
Teorija reprezentacije je iz dva razloga prožimajuća u više oblasti matematike. Prvo, primene teorije reprezentacije su raznovrsne,[10] te pored uticaja na algebru, teorija reprezentacije:
Uspeh teorije reprezentacije doveo je do brojnih generalizacija. Jedna od najčešćih je u teoriji kategorija.[15] Algebarski objekti na koje se odnosi teorija reprezentacije mogu se posmatrati kao posebne vrste kategorija, a reprezentacije kao funktori iz kategorije objekta u kategoriju vektorskih prostora.[5] Ovaj opis ukazuje na dve očigledne generalizacije: prvo, algebarski objekti se mogu zameniti opštijim kategorijama; drugo, ciljna kategorija vektorskih prostora može se zameniti drugim dobro izučenim kategorijama.
Neka je vektorski prostor nad poljem .[6] Na primer, prostor je ili , standardni -dimenzionalni prostor od kolonskih vektora nad realnim ili kompleksnim brojevima, respektivno. U tom slučaju, ideja reprezentacione teorije je da se primeni apstraktna algebra konkretno koristeći × matrice realnih ili kompleksnih brojeva.
Skup svih invertabilnih matrica je grupa pod matričnim množenjem, i teorija reprezentacije grupa analizira grupu opisivanjem („reprezentacijom”) njenih elemenata u smislu inverzibilnih matrica.
Matrično sabiranje i množenje sačinjavaju skup svih matrica u asocijativnoj algebri, i stoga postoji korespondirajuća teorija reprezentacije asocijativnih algebri.
Ako se zameni matrično množenje sa matričnim komutatorom , onda matrice postaju umesto toga Lijeva algebra, što dovodi so teorije reprezentacije Lijevih algebri.
Ovo se generalizuje do bilo kog polja i bilo kog vektorskog prostora nad , pri čemu linearne mape zamenjuju matrice i kompozicija zamenjuje matrično množenje: postoji grupa automorfizama od , asocijativna algebra svih endomorfizama od , i korespondirajuća Lijeva algebra .
Alperin, J. L. (1986), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-44926-7.
Bargmann, V. (1947), „Irreducible unitary representations of the Lorenz group”, Annals of Mathematics, 48 (3): 568—640, JSTOR1969129, doi:10.2307/1969129.
Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN978-0-8218-0288-5.
Borel, Armand; Casselman, W. (1979), Automorphic Forms, Representations, and L-functions, American Mathematical Society, ISBN978-0-8218-1435-2.
Gelbart, Stephen (1984), „An Elementary Introduction to the Langlands Program”, Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (2): 177—219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.
Folland, Gerald B. (1995), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN978-0-8493-8490-5.
Шаблон:Fulton-Harris.
Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-66348-9.
Gordon, James; Liebeck, Martin (1993), Representations and Characters of Finite Groups, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN978-0-521-44590-0.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd изд.), Springer, ISBN978-3319134666
Helgason, Sigurdur (1978), Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Academic Press, ISBN978-0-12-338460-7
Humphreys, James E. (1972b), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-90108-4, MR0396773
Jantzen, Jens Carsten (2003), Representations of Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN978-0-8218-3527-2.
Kac, Victor G. (1990), Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd изд.), Cambridge University Press, ISBN978-0-521-46693-6.
Knapp, Anthony W. (2001), Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, ISBN978-0-691-09089-4.
Kim, Shoon Kyung (1999), Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-64062-6.
Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. (1997), Linear Algebra and Geometry, Taylor & Francis, ISBN978-90-5699-049-7.
Lam, T. Y. (1998), „Representations of finite groups: a hundred years”, Notices of the AMS, 45 (3,4): 361–372 (Part I), 465–474 (Part II).
Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)], 34 (3rd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-3-540-56963-3, MR0214602; MR0719371 (2nd ed.); MR1304906(3rd ed.)
Olver, Peter J. (1999), Classical invariant theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN978-0-521-55821-1.
Pontrjagin, Lev S. (1934), „The theory of topological commutative groups”, Annals of Mathematics, 35 (2): 361—388, JSTOR1968438, doi:10.2307/1968438.
Sally, Paul; Vogan, David A. (1989), Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, American Mathematical Society, ISBN978-0-8218-1526-7.
Sharpe, Richard W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer, ISBN978-0-387-94732-7.
Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-88218-7.
Weyl, Hermann (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik (The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931 изд.), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), ISBN978-0-486-60269-1.
Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nd изд.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN978-0-691-05756-9.