From Wikipedia, the free encyclopedia
Група је у апстрактној алгебри скуп са бинарном операцијом, који задовољава аксиоме затворености, асоцијативности и има неутрални и инверзни елемент. Грана математике која проучава групе је теорија група.
Многе структуре којима се математика бави су у ствари групе. Међу њима су познати бројевни системи, као што су цели бројеви, рационални бројеви, реални бројеви, и комплексни бројеви под сабирање, као и рационални бројеви различити од нуле, реални бројеви и комплексни бројеви под множењем. Други важни примери су групе не-сингуларних матрица под множењем, и група инвертибилних функција под слагањем функција. Теорија група омогућава да се својства оваквих структура изучавају у општим случајевима.
Теорија група има широку примену у математици и другим природним наукама. Многе алгебарске структуре, као што су поља и векторски простори могу концизно да се дефинишу у терминима група, и теорија група пружа важне алате за проучавање симетрије, јер симетрије сваког објекта граде групу. Групе су стога кључне апстракције у гранама физике које се тичу принципа симетрије, као што су теорија релативитета, квантна механика, и физика честица. Штавише, њихова могућност да представе геометријске трансформације им доноси примену у хемији, рачунарству, и другим областима.
Група је скуп са бинарном операцијом , која задовољава следеће четири аксиоме:
Најчешће се захтев за затвореношћу не наводи експлицитно, јер се он подразумева у исказу да је * бинарна операција.
Може се показати да група има тачно један неутрал.
Може се показати да је инверз датог елемента јединствен, и да је леви и десни инверз елемента исти. Постоје и уже дефиниције, које замењују другу и трећу аксиому концептом левог (или десног) неутрала и инверза.
Група се често означава само словом , кад не постоји двосмисленост око тога шта је операција.
Скуп је подгрупа групе ако је подскуп и група у односу на операцију дефинисану на . Другим речима, је подгрупа од ако је рестрикција од на операција групе на . Како су остала својства аутоматски задовољена, је подгрупа групе ако и само ако је затворен у односу на и инверз.
Ако је коначна група, тада је коначна и . Притом ред од дели ред од по Лагранжовој теореми.
Могуће је користити различите ознаке за групе у зависности од контекста и операције.
Када се дефинишу групе, стандардна нотација подразумева да се користе заграде за дефинисање групе и њене операције. На пример, означава да је скуп група у односу на сабирање. За групе као што су и је уобичајено да се изоставе заграде и операција, нпр. и . Такође је исправно да се група означава ознаком њеног скупа, нпр. или .
Неутрал се означава словом , али се понекад користи и нека друга ознака у зависности од групе. Код мултипликативних група, неутрал може да се означава бројем 1. Код група инвертибилних матрица, неутрал се обично означава као или . Код адитивних група, неутрал може да се означава бројем 0. Код група функција, неутрал се обично означава као или .
Ако је подскуп скупа и је елемент , тада, у мултипликативној нотацији, је скуп свих производа ; слично, нотација ; и за два подскупа и скупа , се пише за . У адитивној нотацији, записује се и за одговарајуће скупове.
Група је Абелова или комутативна ако је операција комутативна, то јест, за свако , из , . Абелове групе су добиле име по математичару Нилсу Абелу.
1. пример: Позната Абелова група је група целих бројева под сабирањем. Нека је скуп целих бројева,, и нека симбол означава операцију сабирања. Тада је група, пошто су испуњени захтеви:
и одавде наведена група је Абелова, јер важи .
Проширењем операција, ако додамо и операцију множења на истом скупу, добијамо целе бројеве са сабирањем и множењем, што ће представљати сложенију алгебарску структуру, која се назива прстен.
2. пример: Са друге стране, ако посматрамо целе бројеве са операцијом множења, означеног симболом , тада није група. Ово задовољава већину аксиома, али нема инверзе:
Како нема сваки елемент из инверз, није група. Међутим, ово јесте комутативни моноид, што је структура која се дефинише слично групи, али без захтева за постојањем инверза.
3. пример: Скуп рационалних бројева без нуле, тј. скуп свих разломака , где су и цели бројеви, а је различито од нуле, са операцијом множења означеном симболом . Како рационалан број 0 нема мултипликативни инверз, , као , није група.
Међутим, ако користимо скуп свих рационалних бројева различитих од нуле, , тада гради Абелову групу.
Не губимо затвореност уклањањем нуле, јер је производ два рационална броја различита од нуле увек различит од нуле. Као што цели бројеви дају прстен, рационални бројеви дају алгебарску структуру поље, која допушта операције сабирања, одузимања, множења и дељења.
4. пример: За конкретнији пример групе, узмимо три обојене плочице (црвену, зелену и плаву) на почетку постављене у распоред ЦЗП. Нека је дејство „замени прву и другу плочицу“, и нека је дејство „замени другу и трећу плочицу“.
У мултипликативном облику, традиционално записујемо за комбиновано дејство у „прво уради , а затим уради “; тако да је акција ЦЗП → ЦПЗ → ПЦЗ, тј, „узми плаву плочицу, и помери је на почетак“. Ако са означавамо дејство „остави плочице тамо где јесу“ (неутрал), тада можемо да напишемо шест пермутација скупа три плочице као следећа дејства:
Дејство има ефекат ЦЗП → ЗЦП → ЦЗП, што оставља плочице тамо где су и биле; тако да записујемо = . Слично,
тако да свако од горенаведених дејстава има инверз.
Провером, можемо такође да утврдимо асоцијативност и затвореност; обратимо пажњу на пример да
Ова група се назива симетричном групом над 3 слова, или . Има ред 6 (или факторијел), и није Абелова (јер, на пример ). Како је добијено од основних дејстава и , кажемо да је скуп генераторни скуп групе.
Општије, можемо да дефинишемо симетричну групу од свих пермутација објеката. Ова група се означава као и реда је факторијел.
Један од разлога зашто су пермутационе групе важне је што се свака коначна група може представити као подгрупа симетричне групе (где је број елемената групе ); овај резултат је Кејлијева теорема.
Циклична група је група чији елементи могу да буду генерисани узастопном применом операције која дефинише групу (и операције узимања инверзног елемента), примењене на само један елемент те групе. Овај примитивни елемент се назива генератором, или примитивним елементом групе.
Ако се сукцесивна примена операције која дефинише групу примени на ма који (могуће непримитивни) елемент групе, добија се циклична подгрупа. Ред цикличне подгрупе дели ред групе. Стога, ако је ред групе прост, сви њени елементи, изузев неутрала су примитивни елементи групе.
Важно је напоменути да група садржи све цикличне подгрупе генерисане сваким од елемената групе. Међутим, група конструисана из цикличних подгрупа није обавезно циклична подгрупа. На пример, Клајнова четворна група није циклична група, иако је конструисана од две цикличне групе реда 2.
Свака коначна Абелова група се може представити као директан производ неких својих цикличних подгрупа, по структурној теореми за коначне Абелове групе.
1. пример: Код цикличне мултипликативне групе , сви елементи групе су добијени скупом свих целобројних експонената примитивног елемента те групе:
У овом примеру, ако је једнако 2, и операција је оператор множења, тада . Модуло може да веже групу у коначан скуп са неразломљеним скупом елемената, јер би инверз (и , итд.) био унутар скупа.
(множењем слева са ) | |
(коришћењем ) | |
(аксиома неутралног елемента) |
Прва два својства у ствари произлазе из асоцијативности бинарних операција дефинисаних на скупу. Ако је дата бинарна операција на скупу, постоји највише један неутрал и највише један инверз за сваки елемент (без обзира на то имају ли остали елементи инверзе).
= | (асоцијативност) | ||
= | (дефиниција инверза) | ||
= | (дефиниција неутралног елемента) | ||
= | (дефиниција инверза) |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.