Тополошки простори су математичке структуре које омогућавају формалну дефиницију појмова као што су конвергенција, повезаност и непрекидност. Они се јављају у практично свим гранама модерне математике. Грана математике која проучава саме тополошке просторе се назива топологија.[1][2][3]
унија свих колекција скупова из је такође скуп у .
пресек сваке коначне колекције скупова из је такође у .
Колекција се назива топологијом над . Елементи скупа се обично називају тачкама, мада могу бити произвољни математички објекти. Тополошки простор у коме су тачке представљене неким функцијама, назива се функционални или функцијски простор.
Скупови у су отворен скупови, а њихови комплементи у су затворени скупови. Произвољни подскуп од може бити отворен, затворен, и отворен и затворен истовремено или нити отворен, нити затворен.
Покривач скупа је скуп подскупова у такав да њихова унија даје цео скуп . Покривач скупа је отворен, ако се састоји од отворених скупова.[11]
Околина тачке је сваки скуп који садржи отворен скуп у којем се налази . Систем околине на се састоји од свих околина од . Топологију може да одреди скуп аксиома које се тичу свих система околина.
Четири примера и два контрапримера топологија над скупом од три тачке, {1, 2, 3}. Доњи леви пример није топологија јер недостаје {2,3}, унија {2} и {3}; доњи десни пример није топологија јер недостаје {2} пресек {1,2} и {2,3}.
Специјални тополошки простори у зависности од топологије :
Тривијална топологија је топологија коју чине само произвољан скуп и колекција = {, } која се састоји од само два обавезна подскупа који морају да је чине по дефиницији тополошког простора, од празног и целог скупа.
Дискретна топологија је топологија која се састоји од произвољног скупа и колекције = , која је највећи могући подскуп партитивног скупа од , тј. овде је топологија цео партитивни скуп од .
Код бесконачних скупова, када је нпр. = и колекција је једнака унији свих коначних подскупова целих бројева и целог скупа , овако формирани уређени пар није тополошки простор, јер није топологија, пошто постоје бесконачни скупови елемената из који се не налазе у .
Еквивалентне дефиниције
Осим наведене дефиниције, еквивалентни тополошки простор се може дефинисати и преко затворених скупова:
Тополошки простор је уређени пар скупа и колекције подскупова од који задовољавају следеће аксиоме:
Празан скуп и су у .
Пресек сваке колекције скупова из је такође у .
унија сваког пара скупова из је такође у .
Еквивалентност дефиниција тополошког простора преко отворених и затворених скупова се добија преко де Морганових закона, када аксиоме које дефинишу отворене скупове постају аксиоме које дефинишу затворене скупове:
Празан скуп и су затворени.
Пресек сваке колекције затворених скупова је такође затворен.
Унија сваког пара затворених скупова је такође затворена.
По овој дефиницији тополошког простора, скупови у топологији су затворени скупови, а њихови комплементи у су отворени скупови.
Још један начин за дефинисање тополошког простора је коришћењем аксиома затворености Куратовског, које дефинишу затворене скупове као фиксне тачке оператора над партитивним скупом од X.
Над истим скупом може постојати више топологија тако да граде различите тополошке просторе.
Топологија је грубља (мања, слабија) од , односно, топологија је финија (већа, јача) од топологије ако важи да је сваки скуп из топологије истовремено садржан у топологији . Овакво поређење топологија се записује: > .
Доказ који се ослања само на постојање одређених отворених скупова ће уједно важити и на финијој топологији, и слично, доказ који се ослања само на то да одређени скупови нису отворени ће важити и на свакој грубљој топологији.
Хомеоморфизам је бијекција која је непрекидна и чији је и инверз такође непрекидан. За два простора се каже да су хомеоморфна ако постоји хомеоморфизам између њих. Са гледишта топологије, хомеоморфни простори су у суштини идентични.
Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd изд.). New York: Dover. „"Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions."”
Armstrong, M. A.; Основна топологија (Basic Topology), Springer; прво издање (1. мај, 1997). Armstrong, M. A. (мај 1997). Basic Topology. Springer. ISBN978-0-387-90839-7.CS1 одржавање: Формат датума (веза).
Bredon, Glen E., Топологија и геометрија (Topology and Geometry) (Текстови из математике, постдипломске студије), Springer; (17. октобар1997). Bredon, Glen E. (24. 6. 1993). Topology and Geometry (1st изд.). Springer. ISBN978-0-387-97926-7.CS1 одржавање: Формат датума (веза).
Fulton, William, Алгебарска топологија (Algebraic Topology), (Текстови из математике, постдипломске студије), Springer; прво издање (5. септембар, 1997). Fulton, William (5. 9. 1997). Algebraic Topology: A First Course. Springer. ISBN978-0-387-94327-5.CS1 одржавање: Формат датума (веза).
Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; прво издање (1. јун, 1968). Lipschutz, Seymour (1965). Schaum's Outline of General Topology. McGraw Hill Professional. ISBN978-0-07-037988-6..
Munkres, James; Топологија (Topology), Prentice Hall; друго издање (28. децембар, 1999). Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice Hall, Incorporated. ISBN978-0-13-181629-9..
Runde, Volker; Укус топологије (универзитетски текст)A Taste of Topology (Universitext), Springer; прво издање (6. јул, 2005). Runde, Volker (7. 12. 2007). A Taste of Topology. Springer. ISBN978-0-387-25790-7.CS1 одржавање: Формат датума (веза).
Arkhangel'skii, A. V.; Pontryagin, L. S. (1990), General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer, ISBN3-540-18178-4
Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001). A course in metric geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN0-8218-2129-6.
Cohen, Andrew R.; Vitányi, Paul M. B. (2012), „Normalized compression distance of multisets with applications”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37 (8): 1602—1614, PMC4566858, PMID26352998, arXiv:1212.5711, doi:10.1109/TPAMI.2014.2375175
Lawvere, F. William (децембар 1973). „Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. 43 (1): 135—166. S2CID1845177. doi:10.1007/BF02924844.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (Third изд.). New York. ISBN0-07-054235-X. OCLC1502474.
Smyth, M. (1987), „Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces”, Ур.: Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, 298, Springer-Verlag, стр.236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology. Dover. ISBN978-0-486-68735-3. MR507446.