From Wikipedia, the free encyclopedia
У математици, Декартов (Картезијански) производ је директни производ скупова. Име је добио по француском математичару Декарту,[1] захваљујући чијем заснивању аналитичке геометрије је постављен темељ за овај концепт.
Посебно, Декартов производ два скупа (нпр. скуп тачака на -оси) и (нпр. скуп тачака на -оси), у ознаци , је скуп свих могућих уређених парова код којих је прва компонента елемент скупа а друга компонента елемент скупа (у примеру би то била цела раван ):
Декартов производ два коначна скупа може се представити табелом, тако да су елементи једног скупа распоређени у редове, а другог у колоне. Тада се уређени парови могу схватити као ћелије у табели, где је свака одређена својим редом и колоном.
Нека су дати скупови и .
У питању су различити скупови, тј. .
На шпилу од 52 карте се може илустровати декартов производ. Шпил има 13 врста карата {} и свака врста се појављује у четири боје {♠, ♥, ♦, ♣}. Декартов производ ових скупова се састоји од 52 уређена пара свих могућих карата.
Врста × боја даје следећи скуп {}.
Боја × врста даје следећи скуп {}.
У питању су различити дисјунктни скупови.
Главни историјски пример је картезијанскa раван у аналитичкој геометрији. У циљу представљања геометријских облика на нумерички начин и добијања нумеричких информација од оваквих репрезентација облика, Рене Декарт је свакој тачки у равни доделио пар реалних бројева, названих координатама. Обично се такав пар првих и других компонената назива и координата. Скуп свих таквих парова, односно картезијански производ ℝ × ℝ где су ℝ реални бројеви, представља скуп свих тачака у равни.
Формална дефиниција Декартовог производа са аспекта теорије скупова следи из дефиниције уређеног пара. Најчешћа дефиниција уређеног пара је , коју је дао Куратовски. Из дефиниције следи да је , где је партитивни скуп. Дакле, постојање Декартовог производа било која два скупа у Цермело-Френкел теорији скупова је последица аксиоме пара, аксиоме уније, аксиоме партитивног скупа, и схеме сепарације. Пошто се функције најчешће дефинишу као специјалан случај релација, а релације се дефинишу као подскуп Декартовог производа, следи да је Декартов производ суштински неопходан за већину других дефиниција.
Нека су , , и скупови.
Декартов производ није комутативан,
,
јер су координате уређених парова пермутоване, осим ако је испуњен један од следећих услова[3]:
Примери:
= {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
= {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
= {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
= {1,2} × ∅ = ∅
= ∅ × {1,2} = ∅
У општем случају, Декартов производ није асоцијативан (осим ако је један од скупова празан).
На пример, ако је = {1}, онда је .
Декартов производ се лепо понаша у односу на пресек скупова.
Међутим, скуповна једнакост не важи уколико пресек заменимо са унијом.
У ствари, важи следећа једнакост:
За разлику скупова важи идентитет:
Следеће скуповне једнакости илуструју дистрибутивност декартовог производа и скуповних операција[3]
,
,
,
[4].
За подскупове важи следеће:
Ако је онда је ,
Ако су A,B онда је [5].
Кардиналност (кардинал или кардинални број) је број елемената скупа. На пример, нека су дата два скупа: и. Скупови и имају по два елемента. Њихов Декартов производ, у ознаци , даје нови скуп који се састоји од следећих елемената:
.
Сваки елемент скупа се упарује са сваким елементом скупа . Сваки уређени пар је елемент у резултујућем скупу . Број различитих елемената у Декартовом производу скупова једнак је производу броја елемената скупова чији се Декартов производ рачуна; у овом случају је 2·2=4. Кардинални број добијеног скупа, једнак је производу кардиналних бројева скупова чији се Декартов производ рачуна. Дакле,
.
Слично,
и тако даље.
Скуп је бесконачан ако је бар један од скупова или бесконачан а други скуп је непразан.[6]
Декартов квадрат (или бинарни Декартов производ) скупа је Декартов производ . Пример овог производа је дводимензионална раван R2 = R × R где је скуп реалних бројева: 2 је скуп свих тачака где су и реални бројеви (види Декартов координатни систем).
Декартов степен скупа може се дефинисати као:
Одговарајући пример је R3 = R × R × R, где је R скуп реалних бројева. Општији пример је Rn.
-арни Декартов степен скупа је изоморфан простору функција које пресликавају скуп од елемената у скуп . Као специјалан случај, 0-арни Декартов степен од може се узети једноелементни скуп и одговарајуће празно пресликавање са кодоменом X.
Декартов производ може се уопштити на -арни Декартов производ са скупова 1, ..., :
Овако дефинисан производ је скуп -торки. Ако се -торке дефинишу као угњеждени уређени парови, онда се скуп -торки може поистоветити са (1 × ... × −1) × .
Могуће је дефинисати Декартов производ за произвољну (бесконачну) индексирану фамилију скупова. Ако је произвољан скуп индекса, и фамилија скупова индексираних са , тада се Декартов производ скупова у дефинише као
што представља скуп свих функција дефинисаних на скупу индекса тако да вредност функције за одређени индекс буде елеменет скупа . Чак и када је сваки од непразан, Декартов производ може бити празан ако не претпоставимо да важи аксиома избора (која је еквивалентна тврђењу да је сваки такав производ непразан).
За свако из , функција
дефинисана са назива се -та пројекција.
Важан случај је када је скуп индекса скуп природних бројева : овај Декартов производ је скуп свих бесконачних секвенци где је -та координата из одговарајућег скупа . На пример, сваки елемент производа
може се представити као вектор са пребројиво много реалних координата. Овај скуп се најчешће означава са , или .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.