Teoria e numrave

Teoria e numrave është një ndër disiplinat më të aplikuara në matematikë. Ashtu si edhe shumë degë tjera të matematikes, teoria e numrave gjenë zbatim në jetën e përditshme, përshembull në shkenca kompjuterike dhe në kriptografi. Objektiv kryesor i teorisë së numrave është studimi i numrave të plotë më saktësisht studimin e numrave natyror dhe vetitë e tyre si dhe mardheniet që i posedojnë ato. Kjo disipline është mjaftë e gjerë prandaj edhe për studim më të leht ndahet në tre drejtime të tjera të cilat e marrin emrin e tyre varësisht nga instrumentet e matematike të cilat i përdorin:

Kjo spirale Ulam shërben për ta ilustruar Teorinë e numrave

Teoria Klasike e Numrave e cila përdor metoda krejtësisht të pastra teorike numerike.

Teoria Analitike e Numrave e cila operon me metodat bazë të analizës matematike e veçanërisht me metodat bazë të funksioneve komplekse.

Teoria Algjebrike e Numrave e cila operon me metoda totalisht algjebrike dhe veçanërisht me konceptin e idealeve dhe fushave algjebrike.

Teoria Gjeometrike e Numrave është pjesa e teorisë së numrave e cila përdor gjeometrinë për studimin e numrave algjebrikë.

Disa koncepte kryesore të Teorisë së numrave janë studimi i numrave të thjeshtë, plotpjestueshmëria, rrënjet primitive, format kuadratike, ekuacionet e diofantit, thyesat e vazhdueshme, implementimi i saj në shkencat e tjera, etj.^[1]

Një fakt interesant: me anë të thyesave të vazhdueshme është vërtetuar se pianoja nuk mund të akordohet në menyrë perfekte.^[2]

Plotpjestueshmëria dhe pjestimi me mbetje

Nga pjestimi i një numri të plotë me një numër të plotë pozitiv mund të përfitojmë dy numra: herësin dhe mbetjen. Puna me këta numra na dërgon tek një term i rëndësishëm tek aritmetika modulare, e cila luan një rol të rëndësishëm në matematikë dhe që gjen zbatim edhe në gjithë shkencën kompjuterike. Disa aplikime të rëndësishme të aritmetikës modulare janë:  gjenerimi i numrave pseudorandom, caktimi i vendndodhjeve të kujtesës së kompjuterit për skedarët, ndërtimi i shifrave kontrolluese dhe enkriptimi i mesazheve.^[3]

Pjestimi

Përkufizim: Nëse a dhe b janë numra të plotë me a ≠ 0, themi se a plotpjestohet nga b nëse ka një numër të plotë c të tillë që b = ac (ose ekuivalente, nëse b a janë numra të plotë). Kur a pjesëton b, themi se a është një faktor ose pjesëtues i b, dhe se b është një shumëfish i a. Shënimi a ∣ b tregon se a plotjestohet me b. Ne shkruajmë a̸ | b kur a nuk e plotpjeston b.

Shënim: a ∣ b mund të shprehim duke përdorur kuantifikatorët si ∃c(ac = b).