Formalizmi i Lagranzhit

Ky artikull është rreth Ky artikull është mbi funksionin Langrazhian.. Për përdorime të tjera, shiko Formalizmi i Lagranzhit (kthjellim).

Metoda e Langranzhit është një formalizëm analitik që mbështetet në parimin e minimizimit të veprimit. Ky formulim u dha nga për herë të parë nga Jozef Luiz Lagranzhi në 1785. Formalizmi i Langranzhit nuk është një teori e re e mekanikës klasike por një formulim alternativ i saj. E botuar nga Langranzhi në veprën e tij Mekanika analitike. Baza matematike e formalizmit të Langranzhit është analiza e variacionit. Në këtë rast funksionali përcaktohet si ${\displaystyle L=T-U.}$ Vetë veprimi përcakohet si ${\displaystyle A=\int L(q,dq;t)}$ Sipas parimit të veprimit minimal për të gjitha shtegjet mes dy pikave, natyra zgjedh atë që minimizon veprimin. Ky postulat në matematikë jepet nga parimi i Hamiltonit.

Formulimi i metodës së Langranzhit

Rëndësia

Formulimi i Langranzhit është shumë i rëndësishëm jo vetëm për formulimin e mekanikës dhe bazën e gjerë të aplikimeve, por edhe për rolin e tij te thellë në zhvillimin e kuptimit të fizikës. Edhe pse Langranzhi kërkoi që të përshkruante vetëm mekanikën klasike, principi i veprimit që përdoret për derivimin e ekuacioneve të Langranzhit tashmë aplikohet edhe në mekanikën kuantike.

veprimi fizik dhe faza (valët) mekaniko-kuantike janë të lidhura nga konstanja e Plankut, gjithashtu principi i veprimit stacionar mund të kuptohet në terma të interferencës konstruktive të funksionit valor.

I njëjti princip, së bashku me formalizmin e Langranzhit, janë të lidhura ngushtë me teoremën e Nëdherit, e cila lidh madhesitë e konservuar fizike me simetrinë e vazhduar te një sistemi fizik.

Mekanika e Langranzhit dhe teorema e Nëtherit së bashku japin nje formalizëm natyral të kuantizimit të pare duke përfshirë komutatorët midis disa termave të caktuara të ekuacioneve të Langranzhit për ekuacionet e lëvizjes së një sistemi fizik.

Avantazhe mbi metodat e tjera

• Formulimi i Langranzhit nuk varet në një sistem koordinativ specifik -- në të kundërt, çfarëdo variabële ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$ mund të përdoret për të përshkruar sistemin; Keto variable quhen "koordinata të përgjithshme" . Ato mund të jenë të pavarura nga koordinatat e sistemit (për shembull, intensiteti i fushës magnetike në një pozicion të caktuar; këndi i një rrotulle (e njohur ndryshe si makina Atud) ; pozicioni i një pike materiale në hapësirë; grada e eksitimit të një ajgenvlere të caktuar në një sistem kompleks). Kjo e bën më të lehtë që në teori të inkorporohen kufizime duke përcaktuar një teori në të cilën koordinatat përshkruajnë vetëm gjendjen e sistemit që kënaq këto kufizime të caktuara. Metodat matematike që perdoret në këtë rast quhet shumëzuesit e Langranzhit.

• Neqoftese formulimi është i pandryshueshëm nga simetritë, atëherë ekuacionet rezultante janë gjithashtu të pandryshueshme në atë simetri të caktuar. Kjo është shume e rëndësishme në ato raste kur duhet të tregosh se formulimi i sistemit në fjalë është konsistent me teorinë speciale të relativitetit ose me teorinë e përgjithshme të relativitetit.

• Ekuacionet e derivuara me mënyrën e Langranzhit janë automatikisht konsistente duke mos lënë vend për një interpretim të dyfishte.

Shpjegim i teorisë

Ekuacionet e lëvizjes në mekanikën klasike merren nga principi i veprimit minimal, i cili jepet nga:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0}$

ku veprimi , S, është një funksional

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,\mathrm {d} ^{n}s},}$

dhe ku ${\displaystyle {}{}{}{}\ s_{\alpha }}$ tregon bashkësinë e parametrave të sistemit.

Ekuacionet e lëvizjes të marra nga mënyra e derivatit të funksionalit jane identike me ekuacionet e Ojler-Langranzhit. Sistemet dinamike në të cilat ekuacionet e lëvizjes merren nga principi i veprimit minimal për një funksion Langranzhian të caktuar njihen si Sisteme Langrazhiane dinamike. Shembuj të këtyre sistemeve variojnë që nga versioni klasik i Modelit Standart, dhe ekuacionet e Njutonit, deri tek probleme thjesht matematike si problemi i ekuacioneve te gjeodezikut apo Problemi i Platos.

Një shembull nga mekanika klasike

Në një sistem koordinativ kartezian

Supozojmë se kemi nje hapësire tre-dimensionale dhe funksionin Langranzhian

${\displaystyle L({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}})\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\ -\ V({\vec {x}})}$.

Atehere, ekuacioni i Ojler–Langranzhit është:

${\displaystyle {\frac {d~}{dt}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ -\ {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}\ =\ 0}$

ku ${\displaystyle i=1,2,3}$.

Derivimi jep:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}\ =\ -\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\ =\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\left(\,{\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\,\right)\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\left(\,{\dot {x}}_{i}\,{\dot {x}}_{i}\,\right)=\ m\,{\dot {x}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {d~}{dt}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ =\ m\,{\ddot {x}}_{i}}$

Ekuacionet e Ojler–Langranzhit mund të shkruhen si:

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0}$

Ku derivati kohor është i shkruar ne menyren konvencionale me nje pike mbi madhesine qe po diferencohet, dhe ${\displaystyle \nabla }$ është operatori del.

Duke përdorur këtë resultat, mund të tregohet shume thjeshtë se mënyra e Langranzhit është ekuivalente me atë Njutoniane.

Nëqoftese forca shkruhet në terma të potencialit ${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}$; ekuacioni që vijon ështe ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}$, i cili është i njejti ekuacion si në mënyrën e Njutonit për një objekt me masë konstante.

Një deduktim shume i ngjashëm na jep shprehjen ${\displaystyle {\vec {F}}=\mathrm {d} {\vec {p}}/\mathrm {d} t}$, e cila është Ligji i dytë i Njutonit në formën e përgjithshme.

Në një sistem koordinativ sferik

Supozo se kemi nje system tre-dimensional hapesinor ku perdorim koordinata sferike ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ me funksionin Langranzhian

${\displaystyle {\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r).}$

Atehere ekuacionet e Ojler–Langranzhit jane:

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.}$

Ketu bashkesia e parameteave ${\displaystyle s_{i}}$ është vetem koha ${\displaystyle t}$, dhe variablat dinamike ${\displaystyle \phi _{i}(s)}$ jane trajektoret ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ e thermijes.

Edhe pse po perdorim variabla standarte si ${\displaystyle x}$, funksioni Langranzhian na lejon neve te perdorim cdo lloj koordinate, e cila mund edhe te mos jete ortogonale. Keto quhen "koordinata të pegjithshme".

Funksioni Langranzhian i një thërrmije

Një thërrmijë klasike në gravitetin Njutonian

Funksioni Langranzhian është ${\displaystyle L\!}$ xhauls. Neqoftese na është dhene nje thermije me mase ${\displaystyle m\!}$ kilogram, dhe pozicion ${\displaystyle {\vec {x}}}$ metra ne nje fushe gravitacionale Njutoniane me potencial ${\displaystyle \zeta \!}$ xhauls per kilogram. Trajektorja e ethermijes ne hapesire kohe është e parametrizuar nga koha ${\displaystyle t\!}$ seconda. Energjia kinetike e thermijes ësh

${\displaystyle T[t]={1 \over 2}m{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t]}$

Ndersa energjia gravitacionale potenciale është:

${\displaystyle V[t]=m\zeta [{\vec {x}}[t],t].}$

Pra funksioni Langranzhian është:

${\displaystyle L[t]=T[t]-V[t]={1 \over 2}m{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t]-m\zeta [{\vec {x}}[t],t].}$

Po te variojme ${\displaystyle {\vec {x}}\!}$ tek integrali (i cili është ekuivalent me ekuacionet diferenciale te Ojler–Lagranzhit), marrim

${\displaystyle 0=\delta \int {L[t]\,\mathrm {d} t}=\int {\delta L[t]\,\mathrm {d} t}}$

${\displaystyle =\int {m{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\dot {\delta {\vec {x}}}}[t]-m\nabla \zeta [{\vec {x}}[t],t]\cdot \delta {\vec {x}}[t]\,\mathrm {d} t}.}$

Tani bejme integrimin me pjese te termit te pare dhe te hedhim poshte integralin e plote . Pastaj pjestojme me variacionin te dyja anet qe te marrim

${\displaystyle 0=-m{\ddot {\vec {x}}}[t]-m\nabla \zeta [{\vec {x}}[t],t]}$

Keshtu qe

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}[t]=-m\nabla \zeta [{\vec {x}}[t],t]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}$

Eshte ekuacioni i levizjes — dy shprehje te ndryshme per nje force.

Thërrmijë nën një fushë elektromagnetike në relativitetin special

Ne relativitetin special, forma e termit nga del derivati i momentit duhet qe te ndryshohetd; ajonuk perfaqeson me energjine kinetike. Prandaj ajo behet:

${\displaystyle -mc^{2}{\frac {d\tau [t]}{dt}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle =-mc^{2}+{1 \over 2}mv^{2}[t]+{1 \over 8}m{\frac {v^{4}[t]}{c^{2}}}+\dots }$

(Ne relativitetin special, energjia e nje therrmije prove te lire është ${\displaystyle mc^{2}{\frac {dt}{d\tau [t]}}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}}=+mc^{2}+{1 \over 2}mv^{2}[t]+{3 \over 8}m{\frac {v^{4}[t]}{c^{2}}}+\dots }$)

Ku ${\displaystyle c\!}$ meters per seconde është shpejtësia e dritës ne vakum, ${\displaystyle \tau \!}$ seconda është koha e duhur (pra. Koha qe matet nga nje ore qe leviz se bashku me thermijen) dhe ${\displaystyle v^{2}[t]={\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t].}$ Vini re se term i dyte ne kete seri perfaqeson energjine kinetike klasike. Supooni se thermija ka nje ngarkese elektrike ${\displaystyle q\!}$ kulomb si dhe është ne nje fushe elektromagnetike me nje potencial skalar ${\displaystyle \phi \!}$ volt (nje volt është nje xhaul per kulomb) dhe potencial vektorial ${\displaystyle {\vec {A}}}$ volt seconda per meter. Funksioni Lagrangian in je therrmije prove ne relativitetin special ne nje fushe elektromagnetike është:

${\displaystyle L[t]=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}-q\phi [{\vec {x}}[t],t]+q{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]}$

Duke e ndryshuar kete ne lidhje me ${\displaystyle {\vec {x}}}$, ne marrim

${\displaystyle 0=-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {m{\dot {\vec {x}}}[t]}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}}\right)-q\nabla \phi [{\vec {x}}[t],t]-q\partial _{t}{\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]-q{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot \nabla {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]+q\nabla {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t]}$

E cila është

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m{\dot {\vec {x}}}[t]}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}}\right)=q{\vec {E}}[{\vec {x}}[t],t]+q{\dot {\vec {x}}}[t]\times {\vec {B}}[{\vec {x}}[t],t]}$

Ky është ekuacioni i forcës së Lorencit ku

${\displaystyle {\vec {E}}[{\vec {x}},t]=-\nabla \phi [{\vec {x}},t]-\partial _{t}{\vec {A}}[{\vec {x}},t]}$

${\displaystyle {\vec {B}}[{\vec {x}},t]=\nabla \times {\vec {A}}[{\vec {x}},t]}$

Thërrmijë testuese në relativitetin e përgjithshëm

Ne relativitetin e përgjithshëm, termi i pare pergjithesohet (ne menyre qe te pefshije) si energjine kinetike klasike ashtu eshe bashkeveprimin me potencilain gravitacional Njutonian. Ai behet:

${\displaystyle -mc^{2}{\frac {d\tau [t]}{dt}}}$

${\displaystyle =-mc{\sqrt {-g_{\alpha \beta }[x[t]]{\frac {dx^{\alpha }[t]}{dt}}{\frac {dx^{\beta }[t]}{dt}}}}.}$

Funksioni Lagrangian in nje therrmije prove ne relativitetin e pergjithshem ne nje fushe eletromagnetike është:

${\displaystyle L[t]=-mc{\sqrt {-g_{\alpha \beta }[x[t]]{\frac {dx^{\alpha }[t]}{dt}}{\frac {dx^{\beta }[t]}{dt}}}}+q{\frac {dx^{\gamma }[t]}{dt}}A_{\gamma }[x[t]].}$

Neqoftese kater koordinatat e hapesire-kohes ${\displaystyle x^{\alpha }\!}$ jane dhene ne njesi arbitrare (pra. Pa njes), atehere ${\displaystyle g_{\alpha \beta }\!}$ meter katror është nje tensor metrike simetrik i rendit te dytei cili sherben gjithashtu si potenciali gravitacional. Gjithashtu, ${\displaystyle A_{\gamma }\!}$ ne volt seconda është potenciali elektromagnetik kater dimensional. Vini re se fktori c është absorbuar ne rrnjen katrore sepse ai është ekuaivalenti i

${\displaystyle c\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}={\sqrt {-(-c^{2}+v^{2}[t])}}.}$

Vini re se ky nocion është pergjithesuar direkte nga relativiteti special.

Funksioni Langranzhian dhe densiteti Langranzhian në teorinë e fushës

Integrali kohor i funksionit te Lagranzhit quhet veprim dhe jepet nga ${\displaystyle S}$.
Ne teorine e fushes, behet nje dallim mes funksionit Lagranzhian ${\displaystyle L}$, veprimi it e cilit është integrali kohor:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {L\,\mathrm {d} t}}$

dhe densitetit te Lagranzhit ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, te cilin duhet ta integrojme mbi gjithe hapersire-kohen qe te marrim veprimin:

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,\mathrm {d} ^{4}x}}$

Funksioni Lagranzhian është integrali hapesinor i densitetit Lagranzhian. Megjithate, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ shume here njihet thjesht is funksioni Lagranzhian, vecanrisht ne perdorimin modern; kjo është shume me e dobishme ne teorite relativiste sepse aty fusha skalare e Lorencit pecaktohet ne menyre lokale. Te dyja percaktime mund te shihen si raste special te forms se pergjithshme, te varura nga ku variabla hapesinore ${\displaystyle {\vec {x}}}$ perfshihet ne indeksin ${\displaystyle i}$ ose te parametrave ${\displaystyle s}$ ne ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$. Teori kuantike të fushës në fizikën bërthamore, si elektrodinamika kuantike, zakonisht pershkruhen ne terma te ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, sepse terms ne kete forme te funksionit Lagranzhian mund te perdoren si rregulla ne llogaritjet qe behen per te marre diagramat e Fajmanit.

Fushat e zgjedhura

Ne menyre analoge me ate qe paraqitem me lart, ketu do te japim ekauicionet e fushes ne te cilen keto thermija levizin. Ekuacionet e meposhtme i perkasin fushave ne te cilat therrmija prove e pershkruar me lart leviz, ato lejojne per llogaritjen e ekuacioneve te levizjes se saj. Ekuacionet e meposhtme nuk japin ekuacionet e levizjes se therrmijes por fushen potenciale qe shkatohet nga madhesi si masa ose densiteti i ngarkeses e nje pike ${\displaystyle [{\vec {x}},t]}$. Per shembull, ne rastin e gravitetit Njutonian, densiteti Lagranzhian i integruar mbi hapesire-kohen jep nje ekuacion i cili pot e zgjidhet do te jape ${\displaystyle \zeta [{\vec {x}},t]}$. Kjo ${\displaystyle \zeta [{\vec {x}},t]}$, kur zevendesohet ne ekuacioni prape tek (1), ekuacioni i Lagranzhit per nje therrmije prove ne fushen gravitacionale Njutoniane , jep informacionin e duhur ne menyre qe ne te llogrisim nxitimin e therrmijes.

Graviteti Njutonian

Funksioni (i densitetit) Langrangzhian është ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ xhul per meter kub. Termi i bashkeveprimit ${\displaystyle m\zeta \!}$ zevendesohet nga nje term qe perfshin nje funksion densiteti te vazhdueshem te mases ${\displaystyle \mu \!}$ kilogram per meter kub. Kjo është e domosdoshme sepse pot e perdorim nje burim pikesor per fushen do ten a coje ne veshtiresi matematike. Funksioni Langranzhian rezultues është per fushen klasike gravitacionale është:

${\displaystyle {\mathcal {L}}[{\vec {x}},t]=-\mu [{\vec {x}},t]\zeta [{\vec {x}},t]-{1 \over 8\pi G}(\nabla \zeta [{\vec {x}},t])^{2}}$

ku ${\displaystyle G\!}$ meters kub per kilogram seconda ne katror është konstantja gravitacionale. Variacioni i integralit ne lidhje me ${\displaystyle \zeta \!}$ jep:

${\displaystyle 0=-\mu [{\vec {x}},t]\delta \zeta [{\vec {x}},t]-{2 \over 8\pi G}(\nabla \zeta [{\vec {x}},t])\cdot (\nabla \delta \zeta [{\vec {x}},t]).}$

Tani bejme integrimin me pjese dhe hedhim poshte integralin e plote. Pasi pjestojme me ${\displaystyle \delta \zeta \!}$ marrim:

${\displaystyle 0=-\mu [{\vec {x}},t]+{1 \over 4\pi G}\nabla \cdot \nabla \zeta [{\vec {x}},t]}$

Keshtu qe

${\displaystyle 4\pi G\mu [{\vec {x}},t]=\nabla ^{2}\zeta [{\vec {x}},t]}$

E cila jep ligjin e Gausit për gravitetin.

Elektromagnetizmi në teorinë e relativitetit special

Termat e bashkeveprimit ${\displaystyle -q\phi [{\vec {x}}[t],t]+q{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]}$ jane zevendesuar nga terma qe perfshine nje densitet ngarkese konstant ${\displaystyle \rho \!}$ coulomb per meter kub dhe nje densitet korenti ${\displaystyle {\vec {j}}\!}$ ampere per meter atror. Funksioni Langranzhian resultant per fushen elektromagnetike është:

${\displaystyle {\mathcal {L}}[{\vec {x}},t]=-\rho [{\vec {x}},t]\phi [{\vec {x}},t]+{\vec {j}}[{\vec {x}},t]\cdot {\vec {A}}[{\vec {x}},t]+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}[{\vec {x}},t]-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}[{\vec {x}},t].}$

Duje e ndryshuar kete ne lidhje me ${\displaystyle \phi \!}$, ne marrim

${\displaystyle 0=-\rho [{\vec {x}},t]+\epsilon _{0}\nabla \cdot {\vec {E}}[{\vec {x}},t]}$

E cila jep ligjin e Gausit.

Kurse pot a ndrshojme kete ne lidhje me ${\displaystyle {\vec {A}}}$, ne marrim

${\displaystyle 0={\vec {j}}[{\vec {x}},t]+\epsilon _{0}\partial _{t}{\vec {E}}[{\vec {x}},t]-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times {\vec {B}}[{\vec {x}},t]}$

E cila jep ligjin e Amperit.

Elektromagnetizmi në teorinë e relativitetit të përgjithshëm

Per funksionin Langranzhian ne relativitetin e pergjithshem, shikoni veprimi i Ajnshtajn-Hilbertit. Langranzhiani i fushes elektromagnetike është:

${\displaystyle {\mathcal {L}}[x]=+J^{\gamma }[x]A_{\gamma }[x]-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }[x]F_{\alpha \beta }[x]g^{\mu \alpha }[x]g^{\nu \beta }[x]{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}\mathrm {det} [g[x]]}}.}$

Neqoftese kater koordinatat e hapesire-kohes ${\displaystyle x^{\alpha }\!}$ jane dhene ne njesi arbitrare, atehere: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ xhul sekonda është funksioni Langrangian, nje densitet skalar; ${\displaystyle J^{\gamma }\!}$ kulomb është korrenti, nje densitet vektorial; dhe ${\displaystyle F_{\mu \nu }\!}$ volt sekonda është tensori elektromagnetik,nje tensor kovariant antisimetrik i rendit te dyte. Vini re qe determinant poshte shenjes se rrenjes katrore aplikohet mbi cdo component te matrices se tensorit kovariant te metrikes ${\displaystyle g_{\alpha \beta }\!}$, dhe ${\displaystyle g^{\alpha \beta }\!}$ është inverse i saj. Vini re qe njesite e funksionit Langranzhian ndryshojne sepse ne po integrojme mbi ${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\!}$ te cilat nuk kane njesi ne krahasim me ${\displaystyle t,x,y,z\!}$ te cilat kane njesi seconda meter kub. Tensor ii fushes elektromagnetike formohet duke anti-simetruar derivatet pjesore te potencilait vektorial elektromagnetik; pra ai nuk është nje varaibel e pavarur. Rrenja katrore duhet qe te konvertoje ate term ne nje densitet scalar ne vend ten je skalari te thjështë, si dhe per kompensimin per ndryshimin e njesive ne njesite e varaiblave te integrimit. Faktori i ${\displaystyle {\frac {-1}{c^{2}}}}$ Brenda rrenjes katrore duhet per normalizimin e rrenjes katrore ne menyre qe te reduktohet ne vleren nje ne relativitetin special (meqenese determinant është ${\displaystyle -c^{2}\!}$ ne relativitetin special).

Funksionet Langranzhiane në teorinë kuantike të fushës

Funksioni Langranzhian i Dirakut

Densiteti i funksionit Langranzhian per nje fushë të Dirakut është:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c\not \!D-mc^{2})\psi }$

Ku ${\displaystyle \psi \!}$ është nje spinor i Dirakut, ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ është transpozimi kompleks i Dirakut, ${\displaystyle D\!}$ është derivati kovariant i madhesise, dhe ${\displaystyle \not \!D}$ është notacioni i Fajmanit per ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }\!}$.

Funksioni Langranzhian në elektrodinamikën kuantike

Densiteti i Langranzhit per EDK është:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c\not \!D-mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

ku ${\displaystyle F^{\mu \nu }\!}$ është tensori elektromagnetik

Funksioni Langranzhian në kromodinamiken kuantike

Densiteti i Langranzhit per kromodinamiken kuantike është Arkivuar 1 mars 2008 tek Wayback Machine :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(i\hbar c\not \!D-m_{n}c^{2})\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}$

ku ${\displaystyle D\!}$ është KDK derivati i madhesise kovariante, dhe ${\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}$ është tensori gluon i fuqisë së fushës.

Formalizmi matematik

Shembuj

• Në mekanikën klasike, në formalizmin Hamiltonian, ${\displaystyle M}$ është një manifold një-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} }$, që paraqet kohën dhe hapësirën në fjalë në këtë rast është një tufë kotangente e hapësires së pozicionit të përgjithshëm.
• Në teorinë e fushës, ${\displaystyle M}$ është manifold i hapesirë-kohës dhe hapësira në fjalë është një bashkësi vlerash që fusha mund të marrë në çdo pikë të dhënë. Për shembull, nëqoftëse jane m fusha skalare me vlera reale , ${\displaystyle \phi _{1},...,\phi _{m}}$, atëhere manifoldi në fjalë është ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$. Nëqoftëse fusha është një fushë vektoriale reale, atehere manifoldi në fjalë është izomorfik te ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Në fakt ekziston një mënyrë shumë më elegante që përdor tufa tangente mbi ${\displaystyle M}$, por në ketë artikull do ti përmbahemi kësaj metode.

Zhvillimi matematik

Konsideroni një funksional, ${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} }$, të quajtur veprim. Arsye fizike na diktojne se ai është një lidhje e ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dhe jo i ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Në mënyrë që veprimi të jetë lokal, na duhen kondita kufizuese të tjera mbi veprimin. Nëqoftëse ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {C}}}$, themi se ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}$ është integrali mbi ${\displaystyle M}$ i një funksioni të ${\displaystyle \phi }$, derivati dhe pozicioni i saj marrin emrin funksioni Langranzhian, ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,...,x)}$. Me fjalë të tjera,

${\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {C}},\ \ {\mathcal {S}}[\varphi ]\equiv \int _{M}\mathrm {d} ^{n}x{\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial \varphi (x),\partial \partial \varphi (x),...,x{\big )}.}$

Më poshtë, në marrim parasysh faktin që, funksioni Lagranzhian varet vetëm te vlera e fushës dhe derivati i saj i parë dhe jo në derivate të rendeve më të larta.

Nëqoftëse na janë dhënë kushtet kufitare, pra specifikimet e vlerave të ${\displaystyle \phi }$ në kufi nëqoftëse ${\displaystyle M}$ është kompakt në një limit në ${\displaystyle \phi }$ kur x afrohet ${\displaystyle \infty }$ (kjo do të ndihmojë në aplikimin e integrimit me pjesë), nënhapësira e ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ përbëhet nga funksione, ${\displaystyle \phi }$ të tilla që të gjitha derivatet funksionale te ${\displaystyle S}$ tek ${\displaystyle \phi }$ janë zero dhe ${\displaystyle \phi }$ kënaq konditat kufitare është nënhapësira e zgjidhjeve.

Zgjidhja e kësaj jepet nga ekuacionet e Ojler–Langranzhit (falë kushteve kufitare),

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=0.}$

Ana e majtë e derivatit funksional të veprimit në lidhje me ${\displaystyle \phi }$.

Shikoni gjithashtu

• Derivati funksional
• Integrali funksional
• Principi i Hamiltonit
• Analiza e variacionit
• Koordinatat e përgjithshme
• Mekanika e Hamiltonit
• Mekanika e Lagranzhit
• Pika e Lagranzhit
• Teorema e Nëdherit
• Teoria klasike e fushës kovariante
• Teoria e fushës skalare
• Koordinatat e Lagranzhit dhe të Ojlerit

Referime

• Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain
• David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)