Pjerrësia

Në matematikë, pjerrësia ose gradienti i një vije është një numër që përshkruan drejtimin dhe pjerrësinë e vijës. ^[1]Pjerrësia shpesh shënohet me shkronjën m ; nuk ka një përgjigje të qartë për pyetjen pse shkronja m përdoret për pjerrësi, por përdorimi i saj më i hershëm në anglisht shfaqet në O'Brien (1844) ^[2] i cili e shkroi ekuacionin e një vije të drejtë si "y = mx + b" dhe mund të gjendet gjithashtu në Todhunter (1888) ^[3] i cili e shkroi atë si " y = mx + c ". ^[4]

Pjerrësia: ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}$

Pjerrësia llogaritet duke gjetur raportin e "ndryshimit vertikal" me "ndryshimin horizontal" midis (çdo) dy pikave të dallueshme në një vijë. Ndonjëherë raporti shprehet si një koeficient, duke dhënë të njëjtin numër për çdo dy pika të dallueshme në të njëjtën drejtëz. Një drejtëz që është në rënie ka një "rritje" negative. Drejtëza mund të jetë praktike - siç përcaktohet nga një gjeodez rrugor, ose në një diagram që modelon një rrugë ose një çati qoftë si përshkrim ose si plan.

Pjerrësia, pjerrësia ose shkalla e një linje matet me vlerën absolute të pjerrësisë. Një pjerrësi me një vlerë absolute më të madhe tregon një vijë më të pjerrët. Drejtimi i një drejtëze është ose në rritje, në rënie, horizontale ose vertikale.

• Një vijë rritet nëse shkon lart nga e majta në të djathtë. Pjerrësia është pozitive, dmth ${\displaystyle m>0}$ .
• Një vijë zvogëlohet nëse zbret nga e majta në të djathtë. Pjerrësia është negative, dmth ${\displaystyle m<0}$ .
• Nëse një vijë është horizontale, pjerrësia është zero . Ky është një funksion konstant .
• Nëse një vijë është vertikale, pjerrësia është e papërcaktuar.

Në gjuhën matematikore, pjerrësia m e drejtëzës është

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Koncepti i pjerrësisë zbatohet drejtpërdrejt për pjerrësinë ose gradientët në gjeografi dhe inxhinierinë e ndërtimit . Nëpërmjet trigonometrisë, pjerrësia m e një drejtëze lidhet me këndin e saj të prirjes θ nga funksioni tangjent

${\displaystyle m=\tan(\theta )}$

Kështu, një drejtëz në rritje 45° ka një pjerrësi prej +1 dhe një drejtëz në rënie 45° ka një pjerrësi prej −1.

E ç'është pjerrësia?

Pjerrësia e ilustruar për y = (3/2)x − 1 . Klikoni për ta zmadhuar

Pjerrësia e një vije në sistemin e koordinatave, nga f(x) = −12x + 2 në f(x) = 12x + 2

Pjerrësia e një drejtëze në rrafshin që përmban boshtet x dhe y përfaqësohet përgjithësisht me shkronjën m dhe përkufizohet si ndryshimi në koordinatën y të pjesëtuar me ndryshimin përkatës në koordinatën x, midis dy pikave të dallueshme në vijë. Kjo përshkruhet nga ekuacioni i mëposhtëm:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{ndryshimi}}\,{\text{vertikal}}}{{\text{ndryshimi}}\,{\text{horizontal}}}}.}$

(Shkronja greke delta, Δ, përdoret zakonisht në matematikë për të nënkuptuar "ndryshesë" ose "ndryshim".)

Duke pasur parasysh dy pika ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ dhe ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, ndryshimi në ${\displaystyle x}$ nga njëra tek tjetra është ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$, ndërsa ndryshimi në ${\displaystyle y}$ është ${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$. Zëvendësimi i të dyja madhësive në ekuacionin e mësipërm gjeneron formulën:

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Shembuj

Supozoni se një drejtëz kalon nëpër dy pika: P = (1, 2) dhe Q = (13, 8). Duke e pjesëtuar ndryshesën në koordinantat ${\displaystyle y}$ nga ndryshesa në koordinatat ${\displaystyle x}$, mund të merret pjerrësia e vijës:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}$ .

Meqenëse pjerrësia është pozitive, drejtimi i linjës po rritet. Që nga | m | < 1, pjerrësia nuk është shumë e pjerrët (pjerrësia < 45°).

Si shembull tjetër, merrni parasysh një drejtëz që kalon nëpër pikat (4, 15) dhe (3, 21). Pastaj, pjerrësia e vijës është

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

Meqenëse pjerrësia është negative, drejtimi i vijës po zvogëlohet. Që nga | m | > 1, kjo rënie është mjaft e madhe (rënie > 45°).

1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient" (PDF). Addison-Wesley. fq. 348. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 29 tetor 2013. Marrë më 1 shtator 2013. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
2. O'Brien, M. (1844), A Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry or the Application of the Method of Co-Ordinates in the Solution of Problems in Plane Geometry, Cambridge, England: Deightons {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
3. Todhunter, I. (1888), Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry as Applied to the Straight Line and Conic Sections, London: Macmillan {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
4. Weisstein, Eric W. "Slope". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Arkivuar nga origjinali më 6 dhjetor 2016. Marrë më 30 tetor 2016. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)